In Wolfs Artikel Determining Lyapunov Exponents from a Time Series heißt es:
Experimentelle Daten bestehen typischerweise aus diskreten Messungen einer einzelnen Observablen. Die bekannte Technik der Phasenraumrekonstruktion mit Verzögerungskoordinaten [2, 33, 34] ermöglicht es, aus einer solchen Zeitreihe einen Attraktor zu gewinnen, dessen Ljapunov-Spektrum mit dem des ursprünglichen Attraktors identisch ist.
Einer der zitierten Artikel, Geometry from a Time Series , führt aus:
Die heuristische Idee hinter dem Rekonstruktionsverfahren ist, dass zur Bestimmung des Zustands eines dreidimensionalen Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt die Messung von drei beliebigen unabhängigen Größen ausreichen sollte [...]. Die drei typischerweise verwendeten Größen sind die Werte jeder Zustandsraumkoordinate, , , Und . Wir haben festgestellt, dass [...] man eine Vielzahl von drei unabhängigen Größen erhalten kann, die eine getreue Phasenraumdarstellung der Dynamik des Originals zu ergeben scheinen , , Raum. Ein möglicher Satz von drei solchen Größen ist der Wert der Koordinate mit ihren Werten zu zwei früheren Zeitpunkten, z , , Und .
Schließlich heißt es in Rosensteins Artikel Eine praktische Methode zur Berechnung der größten Lyapunov-Exponenten aus kleinen Datensätzen :
Der erste Schritt unseres Ansatzes besteht darin, die Attraktordynamik aus einer einzigen Zeitreihe zu rekonstruieren. Wir verwenden die Methode der Verzögerungen [27, 37], da ein Ziel unserer Arbeit darin besteht, einen schnellen und einfach zu implementierenden Algorithmus zu entwickeln. Die rekonstruierte Trajektorie X kann als Matrix ausgedrückt werden, wobei jede Zeile ein Phasenraumvektor ist. Das ist,
Wo ist der Zustand des Systems zu einem diskreten Zeitpunkt .
Alle drei Arbeiten scheinen implizit davon auszugehen, dass das untersuchte System einen mehrdimensionalen Phasenraum hat, dass aber nur eine Dimension experimentell gemessen werden kann und dass daher die vollständigen Phasenraumdaten aus einer eindimensionalen Zeitreihe rekonstruiert werden müssen.
Was aber, wenn die Zeitreihe zunächst mehrdimensional, ja gleichdimensional wie der Phasenraum ist? Betrachten Sie zum Beispiel das Problem, experimentell zu zeigen, dass ein einfaches Pendel nicht chaotisch ist. Der Phasenraum ist 4-dimensional ( , , , ) und es ist einfach, ein Experiment zu entwerfen, das eine 4-dimensionale Zeitreihe der Werte dieser Variablen in jedem Zeitschritt erzeugt.
Ist es möglich, die Rekonstruktion in diesem Fall zu überspringen und zu verwenden anstelle der rekonstruierten Flugbahn in Rosensteins Arbeit, ohne zusätzliche Modifikationen? Gibt es eine einfachere Möglichkeit, Lyapunov-Exponenten zu berechnen, wenn der vollständige Phasenraumzustand des Systems bekannt ist?
Was aber, wenn die Zeitreihe zunächst mehrdimensional, ja gleichdimensional wie der Phasenraum ist?
Woher wissen Sie, dass Ihre Zeitreihe dieselbe Dimension wie der Phasenraum hat? Normalerweise, weil Sie die dynamischen Gleichungen für Ihr System (wie für Ihr Pendel) bereits kennen. Wenn Sie jedoch ein reales komplexes System beobachten, können Sie möglicherweise eine multivariate Zeitreihe erhalten, aber es gibt keine Möglichkeit zu sagen, ob ihre Dimension der tatsächlichen Dimension des Phasenraums entspricht, da Sie letztere nicht kennen können. Daher behandle ich zwei Fälle getrennt:
Grob gesagt bestimmt man den größten Lyapunov-Exponenten (und auch die anderen), indem man sich anschaut, wie schnell zwei Trajektorien auseinanderlaufen, nachdem sie zwei Punkte durchlaufen haben, die im Phasenraum nahe beieinander liegen. Wenn Sie nur einen rekonstruierten Phasenraum Ihres Systems aus einer Zeitreihe haben, besteht die einzige Möglichkeit, zwei solche nahegelegenen Trajektorien zu erhalten, darin, nach zwei Punkten zu suchen, die in Ihrem rekonstruierten Phasenraum nahe beieinander liegen. Wenn Sie jedoch Ihr System simulieren können, können Sie solche Punkte selbst erzeugen, indem Sie einfach eine leichte Störung auf den Zustand Ihres simulierten Systems anwenden. Abgesehen davon ist die Methode grundsätzlich dieselbe (und wird beispielsweise in Abschnitt 3 der Arbeit von Wolf et al. beschrieben).
Außerdem gibt es einige Fälle, in denen Sie die Lyapunov-Exponenten analytisch bestimmen können.
Die Schätzung der Lyapunov-Exponenten aus einer Zeitreihe erfolgt grob in zwei Schritten:
Schritt 2 kümmert sich nicht darum, wie Sie den Phasenraum rekonstruiert haben – vorausgesetzt, Sie machen es richtig und der Attraktor ist maximal entfaltet. Und in Schritt 1 ist es normalerweise ein großer Vorteil, mehr als eine Observable von Ihrem System zu haben. Ein einfacher Ansatz wäre, mit Ihrer multivariaten Zeitreihe zu beginnen und verzögerte Einbettungen (wie zum Beispiel in Ihrem Zitat von Packard et al. beschrieben) Ihrer Komponentenzeitreihe hinzuzufügen, bis Sie sicher sind, dass Sie den Attraktor entfaltet haben. Denken Sie jedoch daran, dass einige Ihrer Observablen möglicherweise nicht unabhängig oder zumindest stark korreliert sind. Wenig überraschend gibt es dafür ausgefeiltere Methoden (zunächst ergab eine schnelle Suche dieses Papier ).
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Wrzlprmft