Unvorhersehbarkeit per Definition von chaotischem Verhalten

Anscheinend war ich verwirrt über die Bedeutung(en) von "chaotisches Verhalten". Ich dachte immer, es bedeutet, dass unendlich kleine Störungen eines Systemparameters zu großen Änderungen im Verhalten des Systems führen würden und dass das Verhalten des Systems somit effektiv unvorhersehbar ist, obwohl es deterministisch sein könnte.

In letzter Zeit habe ich jedoch den Eindruck, dass "chaotisches Verhalten" manchmal eine zweite Definition hat, in der es einfach "aperiodisches Verhalten" bedeutet. Dies aus dem Artikel Komplexität in linearen Systemen ... . Vielleicht gibt es noch weitere Definitionen für „chaotisches Verhalten“. Aber: Wäre deterministisches aperiodisches Verhalten effektiv unvorhersagbar im gleichen Sinne wie die Unvorhersagbarkeit gemäß der ersten Definition?

Bei dieser Frage gibt es viele verwirrende Aspekte: 1) Die Empfindlichkeit gegenüber kleinen Störungen bezieht sich auf Störungen der Anfangsbedingung, nicht auf die Parameter. 2) Bei Chaos geht es nicht nur um die Empfindlichkeit gegenüber kleinen Störungen. Ansonsten j ˙ = j wäre chaotisch. 3) Was genau meinst du mit aperiodisch? Umfasst es quasi-periodische, explodierende oder Fixpunkt-Dynamik? Das von Ihnen zitierte Papier enthält dieses Wort nicht.
Gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen Störungen der Anfangsbedingungen und Störungen von Systemvariablen zu einem beliebigen Zeitpunkt? Ich habe unter "Anfangsbedingungen" immer alle Systembedingungen zu Beginn eines Experiments oder einer Berechnung verstanden. Mit aperiodisch meine ich die Miriam-Webster-Definition: 1) unregelmäßiges Auftreten: nicht periodisch; 2) keine periodischen Schwingungen haben: nicht oszillierend. Das heißt, aperiodisches Verhalten kann nicht genau als O(t) = O(t+n delta t) beschrieben werden.
Ein System mit zwei periodischen Komponenten A und B, deren Perioden ka und kb sind , wobei ka und kb im Verhältnis ka/kb = R stehen, wobei R irrational ist, wäre meiner Meinung nach aperiodisch, weil es kein Delta t geben würde macht O(t) = O(t+n delta t) . ( O(t) ist der Systemzustand zum Zeitpunkt t ).
@S.McGrew, Ihr Beispiel klingt so, als könnte es tatsächlich aperiodisch sein, aber dann ist es nicht chaotisch, sondern quasiperiodisch .
@S.McGrew, Die Unterscheidung zwischen Parametern und Zustandsvariablen ist normalerweise sehr wichtig: Die Zustandsvariablen entwickeln sich normalerweise als Funktion von beispielsweise der Zeit und den vorherigen Werten der Zustandsvariablen; während die Parameter fast immer konstant sind und wenn nicht, variieren sie unabhängig von den Zustandsvariablen. Wenn Sie einen Parameter ändern, ändern Sie in gewissem Sinne auch das untersuchte System.

Antworten (1)

Aber: Wäre deterministisches aperiodisches Verhalten effektiv unvorhersagbar im gleichen Sinne wie die Unvorhersagbarkeit gemäß der ersten Definition?

Nicht unbedingt. Nach Ihrer Definition schließt dies quasiperiodisches Verhalten ein, dh eine Überlagerung von zwei (oder mehr) periodischen Verhaltensweisen mit inkommensurablen Frequenzen. Eine solche Dynamik ist durch zwei (oder mehr) null Lyapunov-Exponenten und keine positiven Exponenten gekennzeichnet. Da ein positiver Lyapunov-Exponent direkt auf die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen hinweist, haben wir dieses Problem und die daraus resultierenden Probleme der Unvorhersagbarkeit nicht. Alles, was Sie für die Vorhersage wissen müssen, sind die Phasen jeder der zugrunde liegenden Schwingungen, und kleine Fehler bei der Messung dieser Schwingungen haben eine ebenso große Auswirkung auf den Fehler Ihrer Vorhersage.

Als sehr praktisches Beispiel ist die Position des Mondes in Bezug auf Sonne und Erde auf historischen Zeitskalen quasiperiodisch (wobei die inkommensurablen Frequenzen die synodische Periode, die Knoten- und die Apsidenpräzession sind). Finsternisse sind jedoch bekanntermaßen Jahrhunderte im Voraus vorhersehbar.

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Allerdings: Wir sind in der Lage, Wetter vorherzusagen, dessen chaotisches Verhalten von nichtlinearen PDEs bestimmt wird; Es ist nur so, dass die Genauigkeit unserer Vorhersagen nach ein paar Tagen oder Wochen zusammenbricht (und nicht nach ein paar Jahrhunderten wie im Fall von Sonnenfinsternissen). Die Zeitskala der genauen Vorhersagbarkeit bei einem endlichen Satz von Messungen scheint kein guter Weg zu sein, um chaotisches von nicht chaotischem Verhalten zu unterscheiden. Es scheint, dass keine endliche Messung eines Black-Box-Systems wirklich bestimmen kann, ob das System chaotisch ist oder nicht.
Beachten Sie, dass das Beispiel des Mondes nur zur Veranschaulichung dient, nicht als Beweis. Alle realen Systeme sind zwangsläufig mit chaotischen gekoppelt, die Frage ist nur, zu welcher Zeit und in welcher Amplitude das Chaos sichtbar wird. Auch kann man bei hinreichend hohen Anforderungen an einen Beweis natürlich nicht zeigen, dass irgendein reales System chaotisch ist. Aber andererseits gilt das für experimentelle Beweise von allem.
Ich werde eine neue Frage stellen, um die Fragen zu beantworten, die Ihre Kommentare an diesem Ende aufgeworfen haben – nachdem ich einige Fortschritte beim Verständnis der Lyapunov-Exponenten gemacht habe.
Unvorhersehbarkeit per Definition von chaotischem Verhalten
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