Was sind die Prinzipien des deterministischen Chaos?

Chaos ist nicht leicht genau zu definieren, aber ich werde die Definition aus Nonlinear Dynamics and Chaos von SH Strogatz verwenden, um die Merkmale zu zeigen, denen sich alle einig sind:

Chaos ist aperiodisches Langzeitverhalten in einem deterministischen System, das eine sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen aufweist .

Aperiodisches Langzeitverhalten bedeutet, dass es keine Fixpunkte, geschlossenen Umlaufbahnen, quasiperiodischen Umlaufbahnen gibt, in denen sich Trajektorien für das System einpendeln. Üblicherweise wird die zusätzliche Einschränkung hinzugefügt, dass diese Trajektorien nicht selten sind, dh es gibt einen offenen Satz von Anfangsbedingungen, die zu einer solchen Trajektorie führen. Oder es gibt eine endliche Wahrscheinlichkeit für eine solche Trajektorie bei beliebigen zufälligen Anfangsbedingungen.

Mit deterministisch meinen wir, dass das chaotische Verhalten ausschließlich aus der Nichtlinearität des Systems entsteht, nicht aus stochastischen oder verrauschten Eingaben. Damit ist zB die Brownsche Bewegung vom Tisch.

Die empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen führt dazu, dass Trajektorien sich exponentiell schnell trennen (positiver Lyapunov-Exponent ). Hier fügte Rayohauno hinzu, dass die Trajektorien auf eine begrenzte Menge beschränkt werden sollen. Während sich Trajektorien exponentiell schnell trennen, schrumpfen Volumina in (fraktal) chaotischen Systemen gleichzeitig exponentiell schnell. Diese beschränkte Menge wird dann als seltsamer Attraktor bezeichnet . Heutzutage wird dies jedoch normalerweise nicht als ein definierendes Merkmal von Chaos angesehen.

Für einige Beispiele von Chaos außerhalb der reinen Mathematik werfen Sie einen Blick auf die chemische Reaktion von Belousov-Zahbotinsky oder die Arbeit von Cuomo und Oppenheim über die erstaunliche Wirkung von synchronisiertem Chaos in einer analogen Schaltung, um etwas Spionagemagie zu vollbringen.

Zunächst benötigen Sie ein deterministisches dynamisches System. Deterministisch bedeutet, dass der Zustand des Systems zu jedem Zeitpunkt eindeutig bestimmt ist, dh. Sie haben zu jedem Zeitpunkt genau einen möglichen Zustand. Das Gegenstück sind stochastische Systeme, bei denen der Zustand des Systems stattdessen durch eine Verteilung möglicher Zustände bestimmt wird und diese Verteilung sich mit der Zeit entwickelt.

Zweitens ist die Hauptidee hinter Chaos, dass die Entwicklung des Systems im folgenden Sinne schwer vorherzusagen ist. Die Evolution des Systems wird in der Regel durch einen (Satz von) Evolutionsgleichungen bestimmt. Diese Gleichungen lassen normalerweise eine Familie von Lösungen zu, und Sie können eine und nur eine davon angeben, indem Sie die Anfangsbedingung (plus einige Randbedingungen) auswählen. Im Allgemeinen führt eine Variation der Anfangsbedingung zu unterschiedlichen Lösungen oder Trajektorien für die Entwicklung des Systems. In chaotischen Systemen führt eine kleine Variation der Anfangsbedingung zu einer Trajektorie, die sich sehr vom Original unterscheidet, aber beide kommen unendlich nahe (oder "gemischt") an denselben Attraktor. Dies hat zur Folge, dass bei einem "Fehler"

Normalerweise besteht die Hauptidee hinter einem chaotischen System darin, dass zwei Trajektorien exponentiell schnell voneinander abweichen. Dies kann aber auch bei nicht chaotischen Systemen passieren. Betrachten wir zum Beispiel ein exponentielles Wachstum. Sie ist nicht periodisch und reagiert empfindlich auf Anfangsbedingungen, aber sie ist sicher nicht chaotisch. Genauer gesagt, wenn$y(x,t)$ist ein exponentielles Wachstum mit Anfangsbedingung$x$und pünktlich laufen$t$, Dann

$y(x+\delta x,t) = e^{(x+\delta x)t} = e^{xt}.e^{(\delta x)t} = y(x,t).e^{(\delta x)t}$

Dies zeigt an, dass die gestörte Lösung (linke Seite) exponentiell schnell von der ungestörten (rechte Seite) abweicht. Der Hauptunterschied besteht darin, dass in einem chaotischen System (chaotische) Trajektorien darauf beschränkt sind, in einem begrenzten Raum zu leben, sodass sie "gemischt" werden. Eine mögliche formale Definition eines chaotischen (angenommen deterministischen) Systems ist also: ein System, in dem Trajektorien mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen zeitlich exponentiell abweichen, aber die Trajektorien darauf beschränkt sind, in einem begrenzten Raum zu leben. Es gibt einige seltsame Systeme, bei denen diese Bedingungen verletzt werden können, aber das sind nicht die typischen Fälle. Am Ende ist die wichtige Eigenschaft "Mischen", dh. die gestörte Trajektorie kann beliebig nah und weit entfernt (unter Berücksichtigung der Raumgrenzen, falls vorhanden) von der ursprünglichen werden.

Bearbeiten: Danke für die Bearbeitung GuySoft. Aber in deiner Korrektur ist ein Fehler. Ist keine Definition eines chaotischen Systems, dass zwei Trajektorien mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen exponentiell voneinander abweichen. Es ist nur eine Eigenschaft von ihnen. Sie benötigen auch die zusätzliche Eigenschaft, dass Trajektorien begrenzt sein müssen.