Was sind die *notwendigen* Bedingungen für deterministisches Chaos?

Was sind die notwendigen Bedingungen (nicht hinreichende Bedingungen ) in mathematischer Hinsicht, damit ein deterministisches dynamisches System in ein deterministisches Chaos übergehen kann?

Wir haben noch gesammelt:

  1. Eine positive Rückkopplungsschleife
  2. Nichtlinearität
  3. Mindestens drei instabile Eigenmoden
  4. ...???
Hallo al-Hwarizmi, wenn Sie mit den Antworten auf Ihre frühere Frage nicht zufrieden sind, wäre es besser, dort einen Kommentar zu hinterlassen und um Klärung oder Erweiterung zu bitten.
@Qmechanic: Ich denke, es ist eigentlich eher ein Duplikat als nur "verwandt".

Antworten (2)

Die Dimension sollte 3 oder größer sein. Wenn die Dimension kleiner als 3 ist, sagt Ihnen der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen, dass sich Funktionen nicht schneiden können (da Sie möchten, dass sie stetig und differenzierbar sind).

In 1 Dimension bedeutet dies, dass Sie sich nur in eine Richtung bewegen können

In 2 Dimensionen bedeutet dies, dass Ihr Wert entweder unendlich oder bis zu einem bestimmten Punkt geht.

Sie brauchen 3 Dimensionen oder mehr, um diese seltsamen Attraktoren und dieses seltsame chaotische Verhalten zu bekommen.

Dies gilt nur für zeitkontinuierliche dynamische Systeme. In diskreter Zeit können sich sogar eindimensionale Systeme (wie die logistische Karte ) chaotisch verhalten. Auch können zweidimensionale Systeme selbst in kontinuierlicher Zeit zusätzlich zu Divergenz und Punktattraktoren noch (nicht chaotische) Grenzzyklen aufweisen.
Ja, natürlich war der Satz, den ich verwendet habe, um die Bedingung anzugeben, auch einer für Differentialgleichungen kontinuierlicher Variablen. Mein Fehler :(.
Wie würde sich die Zeitdilatation auswirken? und wie der Grad der Erinnerung?
Ich denke, wenn Sie über die Relativitätstheorie nachdenken, ist der beste Weg zur Parametrisierung, die richtige Zeit zu verwenden, da sie für alle Beobachter unveränderlich ist. Und in Anbetracht der Gedächtniseffekte glaube ich, dass sie eher statistisch sind, was Ihre "deterministische" in deterministisches Chaos auflöst.
Außerdem muss die chaotische Mannigfaltigkeit kein Attraktor sein, sie kann auch ein chaotischer Sattel sein (was zu vorübergehendem Chaos führt).

Gemäß Nonlinear Dynamics and Chaos von Steven Strogatz sind die Anforderungen für Chaos:

  1. Deterministisches System (nur eine Zukunft für jeden Staat)

  2. Unregelmäßige räumliche, zeitliche oder raumzeitliche Muster (ein qualitatives Merkmal)

  3. Ein positiver maximaler Lyapunov-Exponent.

3) ist so ziemlich der quantitative Standard in Zeitschriften des Chaos, vorausgesetzt, Sie erfüllen die Bedingungen von 1). 2) ist subjektiv und es gibt Dinge wie "stabiles Chaos" und es kann periodisches Verhalten geben, das unregelmäßig erscheint, aber nur eine wirklich lange Zeit hat, bevor es sich wiederholt, also müssen Sie mit 2) vorsichtig sein.

Was sind die *notwendigen* Bedingungen für deterministisches Chaos?
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