Analytischer Beweis, dass sich Lyapunov-Exponenten in Hamilton-Systemen paarweise zu Null summieren

Ich habe gelesen, dass in Hamiltonschen Systemen Lyapunov-Exponenten paarweise auftreten ( λ ich , λ 2 N − ich + 1 ) so dass ihre Summe gleich Null ist.

Gibt es eine Möglichkeit, dies analytisch zu beweisen?

EDIT: Habe das hier gesehen .

In symplektischen Systemen kommen LEs paarweise vor ( λ ich , λ 2 N − ich + 1 ) so dass ihre Summe gleich Null ist. Dies bedeutet, dass das Lyapunov-Spektrum symmetrisch ist. Es ist eine Möglichkeit, die Invarianz der Hamiltonschen Dynamik unter Änderung des Zeitpfeils zu betonen.

Ah ich sehe. Dennoch sollten Sie a) eine Referenz angeben, wo Sie das gelesen haben, und b) etwas Rechercheaufwand zeigen. Wenn ich einfach "lyapunov exponents pair sum zero" in Google eintippe, bekomme ich als Ergebnis dieses Papier , das sogar eine Verallgemeinerung auf nicht-Hamiltonsche Systeme zeigt.
@ACuriousMind Ich stimme zu. Da meine eigene Suche mit Inhalten im Kontext gefüllt ist, habe ich die Notwendigkeit überschritten, einen bereitzustellen, während ich im Forum nachfragte. Bearbeitet

Antworten (1)

  1. Wir betrachten eine diskrete Zeitentwicklung

    X N   =   F ( X N − 1 )   =   F N ∘ ( X 0 ) , N   ∈   N ,
    in einem 2 N -dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit ( M , ω ) , Wo F ist ein Symplektomorphismus .

  2. Arbeiten wir der Einfachheit halber in lokalen Koordinaten. Definieren Sie die Jacobi-Matrix als

    (1) A ( X , N ) ich J   :=   ∂ ( F N ∘ ( X ) ) ich ∂ X J .

  3. In lokalen Darboux-Koordinaten ist die Jacobi-Matrix (1) eine symplektische Matrix

    (2) A T Ω A   =   Ω , Ω   :=   [ 0 N − ICH N ICH N 0 N ] .

  4. Beachten Sie, dass die transponiert A T ist auch eine symplektische Matrix. Beachten Sie, dass A T A ist eine positiv definite symplektische Matrix.

  5. Symplektischer Quartettmechanismus: Für einen diagonalisierbaren 1 symplektische Matrix bilden die Eigenwerte Quartette

    (3) { λ , λ ¯ , λ − 1 , λ ¯ − 1 }
    in der komplexen Ebene C . Ein Quartett wird zu einem Dublett auf der reellen Achse und auf dem Einheitskreis.

  6. Definieren Sie die Lyapunov-Exponenten

    (4) { λ 1 ( X , N ) , … , λ 2 N ( X , N ) }   ⊂   R
    als die Eigenwerte der Hermiteschen Matrix
    (5) Λ ( X , N )   :=   1 2 N ln ⁡ ( A ( X , N ) T A ( X , N ) ) .

  7. Aus dem symplektischen Dublett-Mechanismus (3) folgt, dass die Eigenwerte (4) symmetrisch um 0 auf der reellen Achse verteilt sind R .

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1 Nicht alle symplektischen Matrizen sind diagonalisierbar. 2D-Gegenbeispiel:

(6) A   =   [ 1 1 0 1 ] .

+1, Nur ein kurzer Kommentar, da jede zeitkontinuierliche Übersetzung eine symplektische Transformation ist, ist der zeitkontinuierliche Fall eine triviale Verallgemeinerung. Ich glaube auch, dass die Matrix A T A ist positiv semidefinit und wird daher ausschließlich haben λ = λ ¯ degenerierte Quartette.
@Void: Ich stimme zu.
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