Werden Doppel- oder Dreifachpendel synchronisiert, wenn sie sich auf einer Plattform befinden, die sie beeinflussen können?

Da dies ein ziemlich kompliziertes System ist (insbesondere wenn Sie Reibung berücksichtigen möchten), können Ihnen nur ausgeklügelte Simulationen oder Experimente die endgültige Antwort geben, aber hier sind die drei Fälle, die es zu berücksichtigen gilt, und was erforderlich wäre, um sie zu beobachten:

Synchrone chaotische Bewegung

Nehmen wir zunächst an, dass wir keine Reibung haben. Gehen wir dies außerdem rückwärts an und betrachten den völlig synchronen chaotischen Zustand, dh jedes Pendel führt die gleiche chaotische Bewegung aus. Dies ist eine Lösung der Bewegungsgleichungen des Systems, weil:

• die chaotische Bewegung ist eine Lösung des einfachen (doppelten oder dreifachen) Pendels;
• die Kopplung (durch die Plattform) ist klein und beeinflusst die Lösung nicht stark;
• Alle Pendel interagieren auf genau die gleiche Weise mit der Plattform, sodass es keine komplizierte Interaktion zwischen den Pendeln gibt. Aus der Sicht eines einzelnen Pendels würde seine Wirkung auf die Plattform verstärkt (durch die anderen Pendel, die genau dasselbe tun).

Wenn ich also alle Pendel in genau denselben Anfangsbedingungen aufstelle, die für das einzelne Pendel zum Chaos führen (und die geringfügige Wechselwirkung mit der Plattform das Chaos nicht zerstört), würde ich Synchronität beobachten.

Ist dieser Zustand nun stabil, dh würde ich ihn in der Realität beobachten? Für den reibungslosen Fall haben wir Energieerhaltung und damit Zeitsymmetrie. Daher gibt es zu jeder Lösung, die zum stabilen Zustand führt, auch eine davon wegführende (die Zeitinverse). In der Sprache dynamischer Systeme: Keine Attraktoren in konservativen Systemen. Beachten Sie, dass die gleiche Argumentation für den Aufbau mit einzelnen Pendeln gelten würde, daher ist es nicht verwunderlich, dass wir Reibung benötigen.

In einem realen Aufbau mit kleiner Reibung wäre nur der Zustand ohne Bewegung wirklich stabil, also schauen wir uns den Fall an, wo die Reibung die Dynamik auf einer größeren Zeitskala beeinflusst als die interne Dynamik der internen Dynamik der Pendel, und lassen Sie uns ignorieren Sie den langsamen Zerfall aufgrund von Reibung, wenn wir über Stabilität sprechen. Dasselbe gilt wiederum für die Einzelpendel.

In diesem Fall wäre der vollständig synchrone Zustand aus dem gleichen Grund stabil wie bei einzelnen Pendeln: Betrachten wir eine leichte Störung dieses Zustands, genauer gesagt, ein Pendel ist leicht außer Tritt. Dann würde die Interaktion durch die Plattform es wieder in Synchronität mit den anderen Pendeln bringen. (Genau genommen würde auch die Dynamik der anderen Pendel leicht beeinflusst und zu der des gestörten hin verschoben. Die endgültige Dynamik läge dazwischen mit einer starken Tendenz zur größeren Pendelgruppe3)

Wenn ich also alle Pendel in genau denselben Anfangsbedingungen aufstelle, die für das einzelne Pendel zum Chaos führen, und ich einige unvermeidliche Fehler mache, würde ich immer noch einen synchronen chaotischen Zustand beobachten.

Es kann andere Lösungen für die Bewegungsgleichungen geben, z. B. die Hälfte der Pendel schwingt genau entgegengesetzt zur anderen Hälfte, aber diese Zustände sollten nicht stabil sein, und wenn sie es sind, sollten sie erheblich weniger wahrscheinlich sein (dh haben ein kleineres Anziehungsbecken) als der synchrone Zustand. Dasselbe gilt noch einmal für die Einzelpendel. Wir können also davon ausgehen, dass der synchrone Zustand der Attraktor für die meisten Anfangsbedingungen ist.

Bei zufälligen Anfangsbedingungen sollte dieser global synchrone Zustand also schließlich angenommen werden, aber aufgrund der komplexeren Dynamik kann dies erheblich länger dauern als bei den einzelnen Pendeln. Am wichtigsten ist, dass es länger dauern kann, als die Reibung ihren Tribut fordert. Aber für einen günstigen Aufbau (Reibung, Masse der Plattform, …) sollten Sie einen völlig synchronen chaotischen Zustand beobachten.

Synchrone periodische Bewegung

Bei kleinen Amplituden neigt das Doppelpendel dazu, periodische Bewegungen auszuführen (die sich mehr oder weniger wie Einzelpendel verhalten), die leichter zu synchronisieren sind. Wenn also die Reibungswirkung zu stark ist oder Sie mit kleinen Amplituden beginnen, werden die Pendel periodisch, bevor sie sich synchronisieren können, aber dann synchronisieren sie ziemlich schnell, weil periodische Bewegungen / einzelne Pendel leichter zu synchronisieren sind.

Keinerlei Synchronität

Dazu muss Ihre Reibung so stark sein, dass sie vor jeder Synchronisation die gesamte kinetische Energie auffrisst. Dies gilt nur noch einmal für Einzelpendel.

Wie die obigen Kommentare zeigen, ist die Wahrscheinlichkeit einer synchronisierten Bewegung des vorgeschlagenen Systems praktisch gleich null.

Am Beispiel des Doppelpendels füge ich zwei Illustrationen hinzu, die Sie davon überzeugen können, dass eine inhärente und unvermeidbare chaotische Bewegung uns versichert, dass eine synchronisierte Bewegung nicht resultieren und/oder aufrechterhalten wird.

Bewegung des zusammengesetzten Doppelpendels (aus numerischer Integration der Bewegungsgleichungen.

Langzeitbelichtung eines Doppelpendels mit chaotischer Bewegung.

Und das ist nur für ein Doppelpendel!!