Physikalische Interpretation des kanonischen Skalarprodukts in der linearen Dynamik

Stellen Sie sich ein ungezwungenes, ungedämpftes, lineares mechanisches System mit endlich vielen Freiheitsgraden vor. Seine dynamischen Gleichungen (zweiter Ordnung) können in einer Matrixgleichung zusammengefasst werden

M X ¨ + K X = 0

Es treten drei natürliche Skalarprodukte auf:

  • Das kanonische Skalarprodukt X , Y ∈ R N ↦ X ⊤ Y
  • Das Skalarprodukt, das aus der kinetischen Energie stammt: X , Y ∈ R N ↦ X ⊤ M Y
  • Das Skalarprodukt, das sich aus der potentiellen Energie ergibt: X , Y ∈ R N ↦ X ⊤ K Y

Wenn die ODE im ersten Bestellformular geschrieben wird, führt sie im gleichen Sinne zu:

  1. Kanonisches Skalarprodukt X , Y ∈ R 2 N ↦ X ⊤ Y
  2. Skalarprodukt aus der quadratischen Form der Energie X , Y ∈ R 2 N ↦ X ⊤ [ K 0 0 M ] Y

Frage Während die physikalische Bedeutung des Skalarprodukts für die Energie offensichtlich ist, wie kann das kanonische Skalarprodukt interpretiert werden?

Bearbeiten Die Antwort könnte sein, dass es keine gibt (was ich eher glaube), aber es sollte unterstützt werden.

@XiaodongQi: Y muss nicht definiert werden, es ist eine Variable. Sie können sogar nehmen Y = X falls Sie es wollen.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was gefragt wird. ( X ˙ , X ) . D ich A G ( M , K ) . ( X ˙ , X ) ist die Gesamtenergie oder der Hamilton-Operator. ( X ˙ , X ) . D ich A G ( M , − K ) . ( X ˙ , X ) wäre der Lagrange. Was heißt hier „interpretiert“?
@ user2309840 Nun, wie Sie sagten, ist die Bedeutung des Hamilton-Operators direkt; Die Lagrangedichte ist die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie. Beides hängt nicht von der Basiswahl ab. Kann ( X ˙ , X ) ⊤ . ( X ˙ , X ) auf einfache Weise verstanden werden? Mit „physikalischer Deutung“ meine ich grundsätzlich nicht abhängig von der Wahl einer Grundlage .

Antworten (1)

Aus physikalischer Sicht gibt es ein Dimensions- (oder Einheitenanalyse-) Problem mit dem Skalarprodukt R 2 N des Formulars ( X ˙ , X ) T . ( X ˙ , X ) . Naiv addiere ich eine Geschwindigkeit im Quadrat zu einer Position im Quadrat, und die Einheiten sind nicht kompatibel. Oder vielleicht, wenn ich handeln darf X ˙ für Schwung P , dann addiere ich Momentum zum Quadrat zum Quadrat der Position, was ebenfalls keinen Sinn ergibt. Um dieses innere Produkt zu verstehen, muss ich eine Art Skala einführen, die die Einheiten kompatibel macht – ähnlich wie beim Einfügen der Matrizen M Und K wird die gleiche Aufgabe erfüllen und mir eine Interpretation in Bezug auf die Gesamtenergie geben.

Ein natürlicheres inneres Produkt auf R 2 N in diesem Fall handelt es sich um eine symplektische bilineare Form . Im zweidimensionalen Fall würde ein solches inneres Produkt die Matrix beinhalten

ω = ( 0 1 − 1 0 )
Dieses innere Produkt hat, jedenfalls aus quantenmechanischer Sicht, eine physikalische Interpretation im Sinne des Kommutators von Ort und Impuls.

Zurück zur klassischen Mechanik, Schreiben der ODE unter Verwendung eines Hamilton-Operators, z H = ( P 2 / M + M X 2 ) / 2 , beinhaltet natürlich diese symplektische bilineare Form. Die ODE in Erstbestellungsform wird

∂ H ∂ X = − P ˙   , ∂ H ∂ P = X ˙   .
die ich dann umformen kann als
∂ H ∂ Z = − ω ⋅ Z ˙
wo ich definiert habe Z = ( X , P ) . Es gibt tonnenweise Literatur zu symplektischen Formen und klassischer Mechanik, zum Beispiel Arnolds Buch .

Interessant. Wie wäre es mit X ˙ T ⋅ X ˙ , es gibt kein Einheitenproblem, aber kann es trotzdem einem physikalischen Konzept zugeordnet werden (glaube ich nicht)? Übrigens, der Link zu Wikipedia funktioniert nicht.
Sicher warum nicht? X ˙ T ⋅ X ˙ sollte das Quadrat der Geschwindigkeit sein (oder das Quadrat des Impulses, wenn Sie mit einer Masse multiplizieren).
OK, also X ˙ ⊤ ⋅ M ⋅ X ˙ ist das Doppelte der kinetischen Energie, während M X ˙ ⊤ ⋅ M X ˙ ist die Impulsnorm quadriert, haben beide eine "Bedeutung", richtig?
Ich sage gerne Ja dazu.
Nun, wie ich finde, dass meine Frage so dumm war ... es bedeutet, dass Ihre Antwort nützlich war!
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