Wann kann ein autonomes System mit einem Hamiltonoperator geschrieben werden?

Wenn ich eine autonome Reihe von Differentialgleichungen habe

(1) D X ich D T   =   A ich ( X 1 , . . . , X N )
mit der Bedingung, dass
(2) ∑ ich = 1 N ∂ A ich ∂ X ich   =   0
Kann dies in allen Bereichen des Phasenraums als Hamiltonsches System in Bezug auf einige verallgemeinerte Orts- und Impulskoordinaten geschrieben werden?

Kommentar zu Frage (v1): Beachten Sie, dass, während die ODE (1) unter Koordinatentransformationen kovariant ist, die divergenzfreie Bedingung (2) dies nicht ist, es sei denn, wir führen eine Volumenform ein (und legen eine Auswahl davon fest).

Antworten (1)

  1. Es sei ein gegeben N -dimensionale Mannigfaltigkeit M mit einem glatten Vektorfeld X ∈ Γ ( T M ) .

  2. Wenn ( X 1 , … , X N ) ist einige lokale Koordinaten auf M , dann nimmt das Vektorfeld die Form an

    (A) X   =   X ich ( X ) ∂ ∂ X ich ,
    und man kann die autonome ODE erster Ordnung studieren
    (B) D X ich ( T ) D T   =   X ich ( X ( T ) ) .
    Beachten Sie, dass sich die ODE (B) unter Änderung der Koordinaten kovariant transformiert.

  3. Wenn X verschwindet nicht in einem Punkt P ∈ M , dann kann man eine lokale Koordinatennachbarschaft wählen U ⊆ M von P , mit lokalen Koordinaten ( j 1 , … , j N ) , so dass

    (C) X   =   ∂ ∂ j 1 .
    Dieses Verfahren wird manchmal als Schichtung oder Begradigung eines Vektorfeldes bezeichnet. Es ist ein Sonderfall des Satzes von Frobenius .

  4. Die ODE (B) wird dann

    (D) D j ich D T   =   δ 1 ich
    in der lokalen Koordinatennachbarschaft U ⊆ M .

  5. Wählt man die Poisson-Klammer auf naheliegende Weise, dh

    (E) { j ich , j 2 } P B   =   δ 1 ich , usw ,
    dann kann man die ODE (D) auf Hamiltonsche Form bringen
    (F) D j ich D T   =   { j ich , j 2 } P B
    in der lokalen Koordinatennachbarschaft U ⊆ M .

  6. Wenn die Abmessung N gerade ist, dann kann die Poisson-Klammer (E) nicht entartet gewählt werden.

  7. Die Frage nach der Existenz einer globalen Hamiltonschen Formulierung ist viel subtiler, sogar für N = 2 . Siehe auch zB this und this related Phys.SE posts.

Welche Bedingungen wären für die Existenz einer globalen Hamilton-Formulierung erforderlich? Ich nehme an, dass die Analytizität der A_i(x)'s nicht ausreichend wäre?
Analytik des Vektorfeldes reicht nicht aus, vgl. zB Gegenbeispiel 6 in meiner Phys.SE-Antwort hier .
Für die damit verbundene Frage, ob es eine konservierte Energiefunktion gibt (anstelle einer vollständigen Hamiltonschen Formulierung), siehe diesen Phys.SE-Beitrag.
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