Gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für Ergodizität?

Was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen (falls vorhanden) für Ergodizität (oder Nicht-Ergodizität)?

Ich sehe zum Beispiel, dass einige integrierbare Systeme nicht ergodisch sind. Beispielsweise bleibt eine lineare Kette von harmonischen Oszillatoren, die in einem bestimmten Normalmodus zum Schwingen gebracht werden, in diesem Modus. Wenn ich Nichtlinearität hinzufüge, wird die Integrierbarkeit zerstört und (vielleicht) wird das System ergodisch. Daher vermute ich, dass Konzepte wie Integrierbarkeit, Chaos und Nichtlinearität eng mit Ergodizität verbunden sind. Gibt es eine Reihe von Bedingungen, die diese Konzepte mit Ergodizität in Verbindung bringen?

Wenn das System hamiltonsch ist, bleibt das Phasenraumvolumen nach dem Satz von Louiville erhalten. Nach dem Rekursionssatz von Poincare ist ein solches System ergodisch: Für jede offene Menge gibt es Umlaufbahnen, die die Menge unendlich oft schneiden.
@Dr.IkjyotSinghKohli Poincares Wiederholungssatz ist schwächer als die Ergodizität. Genauer gesagt: Die Annahmen des Satzes von Poincare reichen nicht aus, um die Ergodizität zu beweisen.
@lcv ja. Ich bin mir bewusst. Ich habe nur aus dem Kopf heraus ein Beispiel gegeben! :)

Antworten (1)

Integrierbarkeit, Chaos und Nichtlinearität sind eng mit Ergodizität verbunden. Gibt es eine Reihe von Bedingungen, die diese Konzepte mit Ergodizität in Verbindung bringen?

Ja.

Um Chaos zu zeigen, muss ein System nichtlinear sein : entweder durch einen explizit nichtlinearen Term oder indirekt, etwa wenn die Nichtlinearität aus einer teilweisen Differentiation oder einer Zeitverzögerung entsteht.

Nun, im Allgemeinen sind Chaos und Unvorhersehbarkeit eher eine Frage des Grades als eine scharfe Unterscheidung zwischen chaotischen und nicht-chaotischen Systemen. Das wird durch die ergodische Hierarchie gut ausgedrückt :

Bernoulli ⊃ Kolmogorow ⊃ Mischen ⊃ Ergodisch

wobei ich die unterschiedlichen Mischungsgrade weglasse. Bernoulli-Systeme sind die chaotischsten, äquivalent zu Shift-Maps. Kolmogorov-Systeme (oft einfach K-Systeme ) haben positive Lyapunov-Exponenten und entsprechen dem, was am häufigsten als chaotisches System angesehen wird . (Stark) mischende Systeme haben intuitiv das Verhalten, das ihr Name impliziert, und obwohl sie nicht unbedingt exponentiell divergierende Trajektorien haben, gibt es ein gewisses Maß an Unvorhersehbarkeit, das es rechtfertigen kann, sie als schwach chaotisch zu bezeichnen . Ergodische Systeme hingegen haben Zeitkorrelationen, die nicht unbedingt abklingen, also eindeutig nicht chaotisch sind.

Wenn also ein System chaotisch ist, ist es notwendigerweise ergodisch. Aber eine wichtige Bemerkung muss gemacht werden: Während die meisten Systeme chaotisch sind, sind sie es selten in ihrem gesamten Phasenraum. Daher beschränken wir unsere Aufmerksamkeit in der Regel auf die zugänglichen Regionen. Wenn dies nicht erforderlich ist, wird dies normalerweise durch den Qualifizierer vollständig angegeben (chaotisch, ergodisch usw.).

Zur Titelfrage:

Gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für Ergodizität?

Ich fürchte, das ist eine mathematische Frage , und leider scheint es außer denen der verschiedenen äquivalenten Definitionen von Ergodizität keine Bedingung zu geben. Konkrete Beispiele für Ergodizitätsbeweise finden sich in Lehrbüchern zur Ergodentheorie (Charles Walkdens Anmerkungen zur Ergodentheorie sind online verfügbar ( pdf1 , pdf2 )).

Gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für Ergodizität?
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