Gibt es eine Verbindung zwischen Bertrands Theorem und der Chaostheorie?

Die Methoden, die man verwendet, um den Satz von Bertrand zu verstehen oder gar zu konstruieren, gehören zwar zu der breiten Klasse von Methoden, die auch in der Chaostheorie verwendet werden, aber die Verbindung ist eher lose. Ich werde beschreiben, wie Sie sogar diese lose Verbindung verstehen können.

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Wenn wir ein dynamisches System in der klassischen Mechanik haben, müssen wir analysieren, ob es integrierbar ist oder nicht. Integrierbar bedeutet, dass wir entlang der Trajektorien des Systems genügend Bewegungsintegrale wie Drehimpuls oder Energie haben, um alle zukünftigen Positionen und Geschwindigkeiten in Bezug auf die Anfangsdaten in Form von Quadraturen (möglicherweise implizite Formeln mit bestimmten Integralen) auszudrücken ).

Betrachten Sie das Beispiel eines Teilchens, das sich in einer Dimension in einem zeitunabhängigen Potential bewegt$V(x)$. Für dieses Teilchen wissen wir, dass es bei seiner Bewegung Energie spart

$$E = \frac{1}{2}m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + V(x)$$ Wir können also seine Geschwindigkeit in Bezug auf die Anfangsenergie und Position ausdrücken $$\frac{d x}{ dt} = \sqrt{2 (E - V)/m}$$ So lange wie $dx/dt \neq 0$Sie können dieses System formell umschreiben als $$\frac{d x}{\sqrt{2 (E - V)/m}} = dt$$ Und nach der Integration landen Sie bei $$\int_{x_0}^{x} \frac{d x}{\sqrt{2 (E - V)/m}} = t - t_0$$ Dies würde man eine Lösung in Form von Quadraturen nennen.

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Für höherdimensionale klassisch-mechanische (Hamiltonsche) Systeme haben wir Sätze wie den Satz von Liouville-Arnold, der uns sagt, dass es eine Lösung in Form von Quadraturen gibt, wenn ein geeigneter Satz von Bewegungsintegralen existiert. Genauer gesagt für ein System von$N$Freiheitsgrade braucht man eine Menge$N$Bewegungsintegrale, die unabhängig und in Involution über die Poisson-Klammer sind .

Bei gebundener Bewegung endet dies in der Bewegung, in die sie aufbricht$N$unabhängige periodische Bewegungen mit$N$im Allgemeinen unabhängige "grundlegende" Frequenzen. Betrachten Sie ein Teilchen, das sich in einer Ebene bewegt, und ein zentrales Potential:

Die Bewegung zerfällt in 1) eine periodische Schwingung im Abstand vom Zentrum (dem Periastron und Apoastron ) und 2) die periodische Rotation um das Zentrum. Wenn diese beiden Frequenzen nicht übereinstimmen, erhalten wir eine quasi-periodische Bewegung , eine Trajektorie, die nicht periodisch in dem Sinne ist, dass sie denselben Punkt und dieselbe Geschwindigkeit zu einer endlichen Zeit erreicht, die sich aber dennoch in ein regelmäßiges Produkt periodischer Bewegungen auflöst.

Wenn jedoch nicht genügend Bewegungsintegrale vorhanden sind, wird die Bewegung chaotisch. Es ist bekanntermaßen schwierig, analytisch zu beweisen, dass es in einem dynamischen System nicht genügend Bewegungsintegrale für den gegebenen Satz von Trajektorien gibt und dass diese Trajektorien daher zwangsläufig chaotisch werden. Es gibt einige Methoden wie das Melnikov-Integral (manchmal auch als Poincaré-Melnikov-Arnold-Integral bezeichnet), die zeigen können, dass kleine Schichten von Chaos im Phasenraum existieren. (Poincaré benutzte so etwas, um die Chaotik des Drei-Körper-Problems zu beweisen .) Tatsächliche Untersuchungen im Chaos basieren jedoch meistens auf numerischen oder halbnumerischen Ansätzen.

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Aber jetzt komme ich zu Bertrands Theorem; Sie können den Satz von Bertrand tatsächlich beweisen, indem Sie über Integrierbarkeit nachdenken.

Der Grund dafür ist, dass bei einem „zu integrierbaren“ System die Anzahl der Grundfrequenzen abnimmt. Beispielsweise hat die Bewegung eines Teilchens in drei Dimensionen im Allgemeinen drei Grundfrequenzen, aber die Bewegung in einem kugelsymmetrischen und stationären Potential hat nur zwei. Dies liegt an der Tatsache, dass die Stationarität Ihnen ein Energieintegral der Bewegung gibt (aufgrund des Noether-Theorems ) und drei Drehimpulse aufgrund von drei Rotationssymmetrien entstehen (denken Sie an Euler-Winkel , nicht an Polarkoordinaten ).$\vartheta, \varphi$). Nicht alle Drehimpulse befinden sich in Involution, aber das hindert sie nicht daran, als Einschränkung zu wirken, die die Freiheit einschränkt, in der die vollständig integrierbare Trajektorie wackeln kann. Insbesondere beschränkt die Erhaltung des gesamten Drehimpulsvektors die Bewegung auf eine Ebene, wie oben gezeigt. In sphärischen Systemen erhalten Sie also ein "überintegrierbares" System, das effektiv zwei Freiheitsgrade und nur zwei Grundfrequenzen hat.

Jetzt kommt die Bewegung in die$1/r, r^2$Potenziale. Diese haben spezielle zusätzliche Symmetrien, die die Posses zu zusätzlichen Bewegungsintegralen machen.

Für die$r^2$es ist einfach, weil die Dynamik des Teilchens in diesem Feld einem kartesischen Bewegungsprodukt von drei harmonischen Oszillatoren entspricht, was Ihnen drei Bewegungsintegrale gibt, die drei Energien der unabhängigen Oszillatoren entsprechen. Sie wissen, dass die Grundfrequenzen die Frequenzen der Oszillatoren sind und es daher nur eine Grundfrequenz gibt, wenn Sie die Steifigkeit in alle Richtungen gleich einstellen. Eine andere Sichtweise auf diese Eigenschaft ist jedoch zu sehen, dass, wenn die Steifigkeit der Oszillatoren in allen Richtungen gleich ist, das System kugelsymmetrisch wird, wir die zusätzlichen Drehimpulsintegrale der Bewegung erhalten und dies die Anzahl von reduziert Grundfrequenzen.

Für die$1/r$Potenzial ist diese Geschichte etwas schwieriger, da die zusätzliche Symmetrie Raum- und Zeittransformationen mischt. Die einfache Konsequenz ist die Erhaltung des sogenannten Lenz-Runge-Vektors , was wiederum zu einer Hyperintegrierbarkeit und einer Verringerung der Anzahl der Grundfrequenzen führt. Aber per Definition muss die Bewegung, wenn es nur eine Grundfrequenz gibt, streng periodisch sein und sich nach einer Schleife schließen.

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Dies beweist jedoch nicht, dass die$r^2,1/r$Potentiale sind die einzigen mit dieser Eigenschaft. Was Joseph Bertrand tatsächlich getan hat, ist, dass er gezeigt hat, dass das Potenzial anders ist als$1/r, r^2$Potenzial, es wird immer einige Trajektorien geben, die sich nicht schließen.

Jedes kugelsymmetrische analytische Potential, das zumindest eine gewisse gebundene Bewegung hat, wird auch kreisförmige Bahnen haben (die geschlossen sind). Joseph Bertrand untersuchte Bahnen, die Kreisbahnen sehr nahe kommen, und zeigte, dass sich bereits diese leicht gestörten Bahnen nicht schließen, wenn diese Potentiale nicht vorhanden sind$r^2, 1/r$. Die Wikipedia-Seite zu diesem Thema ist gut geschrieben.

Orbits zu stören und ihr Verhalten zu sehen, ist tatsächlich eine der grundlegenden Methoden der Chaostheorie und ist sogar die Grundlage für die Definition eines Lyapunov-Exponenten , dem Hauptmaß für Chaos. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass diese Methoden in Bertrands Theorem in einem völlig anderen Kontext und zu einem völlig anderen Zweck verwendet werden.

Die Demonstration des Satzes von Bertrand hat viel Interesse geweckt, und es gibt eine ganze Reihe von Beweisen mit verschiedenen Methoden. Meine Bibliothek enthält einen Artikel [1], der meiner Meinung nach geeignet wäre, aber er ist auf Französisch. Hier ist der veröffentlichte Abstract in englischer Sprache

„Wenn eine Punktmasse einer zentralen, anziehenden Gradientenkraft ausgesetzt ist, gibt es eine Familie kreisförmiger periodischer Umlaufbahnen mit einem Parameter$1/r$, wo$r$ist der Abstand zum festen Anziehungspunkt) oder elastisch (also proportional zu$r^2$) (J. Bertrand. Comptes Rendus 77 (1873), 849–853). Einer Idee von Michael Herman folgend berechnen wir die ersten beiden Birkhoff-Invarianten dieses Systems entlang der Kreisbahnen für ein generisches Potential; dann zeigen wir, wie man den Satz von Bertrand ableitet."

und hier ist eine Übersetzung von mir des Satzes, der die Entwicklungen in dem Papier vorstellt:

„In dieser Demonstration kommt unter den Nicht-Newtonschen und nicht-harmonischen Potentialen, was die Eigenschaft verhindert, nur periodische Bahnen zu haben, entweder für die$1/r^2$Potential aus der Existenz einer strengen Lyapunov-Funktion oder, für ein generisches Potential, aus der Existenz von Bewegungen mit zwei inkommensurablen Frequenzen (einer Präzessionsfrequenz und einer Umdrehungsfrequenz) "

Die Formulierung "strenge Lyapunov-Funktion" ist eine wörtliche Übersetzung, die im Englischen hoffentlich Sinn macht: Meine Kenntnisse auf diesem Gebiet sind dürftig!

[1] Jacques Féjoz und Laurent Kaczmarek, Sur le théorème de Bertrand (d'après Michael Herman), Ergodic Theory and Dynamical Systems 24 (2004), 1583-1589 https://doi.org/10.1017/S0143385704000434