Regularisierung: Was ist das Besondere am Coulomb/Newtonschen und harmonischen Potential?

Ich wollte wissen, ob das in Celletti (2003): Basics of Regularization Theory skizzierte Verfahren zur Regularisierung des Coulomb-Potentials auf beliebige Polynompotentiale verallgemeinert werden kann. Anstatt also von einer Bewegungsgleichung mit einer Kraft auszugehen F ∼ X − 2 Ich begann mit einer verallgemeinerten Kraft F ∼ X N . Die Bewegungsgleichung und die zugehörige Energiegleichung lauten also:

X ¨ + K X N = 0 1 2 X ˙ + K N + 1 X N + 1 = konst. := − E
Nun habe ich Celletti folgend die verallgemeinerte Transformation betrachtet
X = u − N D T D S = X = u − N
Einsetzen dieser Transformationen in die Bewegungsgleichung und die Energiegleichung ergibt mit D u D S = u '
u ″ − u [ ( u ' u ) 2 + K N u N ( N + 1 ) ] = 0 1 2 ( u ' u ) 2 + K N 2 ( N + 1 ) u N ( N + 1 ) = − E
Nun besteht die ganze Regularisierungsübung darin, die Bewegungsgleichung in die einfachere Form eines harmonischen Oszillators umzuwandeln u ″ + 2 E u = 0 ( Bartsch(2003): Die Kustaanheimo-Stiefel-Transformation in der geometrischen Algebra ). Aber wir sehen aus den beiden obigen Gleichungen, dass die Terme in der eckigen Klammer nur gleich der doppelten Energie sind, wenn
N = N 2 ( N + 1 ) 2
oder nach dem Lösen der entsprechenden quadratischen Gleichung N 2 + N − 2 = 0
N 1 = 1   Und   N 2 = − 2
Es scheint also, dass man Coulomb-Kräfte nur regularisieren kann F ∼ X − 2 und harmonische Kräfte F ∼ X . Dieses Ergebnis hat mich etwas fasziniert, weil es die gleichen Kräfte/Potenziale hervorhebt wie der Satz von Bertrand . Aber was hat die Eigenschaft, dass alle gebundenen Bahnen auch geschlossene Bahnen sind (Satz von Bertrand), mit Regularisierung zu tun? Was ist so besonders an Coulomb und dem harmonischen Potential, dass sie in beiden Fällen hervorgehoben werden? Haben diese Potentiale eine gemeinsame tiefere Symmetrie, so dass die Regularisierung und der Satz von Bertrand nur von ihnen erfüllt werden können? Oder ist dies nur eine scheinbare Beziehung zwischen Bertrands Theorem und der Regularisierungstheorie?

Vergessen Sie nicht die N = 0 Wurzel.
Du hast Recht. Aber für N = 0 die umgewandelte Energie E wäre unendlich. Ich glaube, das macht es zu einer "ungültigen" Lösung.
@asmaler Vielleicht möchten Sie auch den Beweis des Satzes von Bertrand noch einmal lesen, um zu sehen, in welchem ​​​​Sinne N = 0 ist eine nicht ganz Lösung.

Antworten (1)

Ich denke, das sind drei Komponenten.

Das erste ist, dass sich die grundlegenden physikalischen Implikationen eines Radialkraftgesetzes – insbesondere etwas so Binäres wie die Frage, ob wir eine geschlossene stabile Umlaufbahn erhalten – nicht ändern, wenn wir nichtklassische Effekte berücksichtigen, obwohl diese einige kleine quantitative Auswirkungen haben Veränderungen, die die Menschen im neunzehnten Jahrhundert nicht bemerken würden. Damit funktioniert jede Bertrand-Option.

Die zweite ist per definitionem if u schwingt dann X wiederholt sich auch, wie von einer geschlossenen stabilen Umlaufbahn erwartet.

Das dritte ist, dass es einfach so im geschlossenen stabilen Orbit passiert N , von denen es nur endlich viele gibt, weil wir am Ende ein Polynom lösen, wie Sie gefunden haben, alle führen insbesondere zur Oszillation von u harmonisch sein, also gibt es keine Nicht-Bertrand-Optionen. Wir könnten dies einen Zufall nennen, aber es ist schwer, eine ODE zweiter Ordnung mit geschlossenen stabilen Lösungen aufzuschreiben, deren Lösungen nicht harmonisch sind (nach einer geeigneten Transformation; schließlich sind Orbitalradien nicht sinusförmig), zumal die Kraft Der Term wird wahrscheinlich unter den meisten vernünftigen Transformationen linearisierbar sein.

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