Ist es möglich, stabile Umlaufbahnen um den Lagrange-Punkt L1L1L_1 zu haben?

Wie Sean schrieb, sind die sogenannten Halo-Orbits am nächsten, mit denen Sie kommen können. Dann las ich ausführlich die jüngste Arbeit, die auf der von Sean zitierten Wikipedia-Seite zitiert wurde, nämlich Howell (1984), und ich fand etwas Interessantes: Es gibt ein winziges Band stabiler Halo-Umlaufbahnen! Aber sie können nicht Umlaufbahnen um die genannt werden$L_1$Punkt durch irgendeinen Abschnitt des Wortlauts. Lassen Sie es mich anhand von Bildern aus Howell (1984) erklären.

Notationen zuerst:$m_1$ist die Masse der Sonne,$m_2$ist die Masse des Planeten und$\mu=\frac{m_2}{m_1+m_2}$ist der übliche Trick. Alle Abbildungen im Folgenden sind für$\mu=0.04$, dh die Planetenmasse beträgt etwa 4% der Sonnenmasse.

Achsen: Howell verwendet den traditionellen Bezugsrahmen, der auf dem Schwerpunkt des Sonne-Planeten-Systems zentriert ist, wobei die X-Achse von der Sonne zum Planeten zeigt, die Y-Achse in der Ekliptikebene (zur Erinnerung: die Ebene, in der die Umlaufbahn liegt des Planeten über die Sonne liegt). Die Z-Achse steht dann offensichtlich senkrecht auf der Ekliptikebene.

Anfangsbedingungen: Howell betrachtet einen Startort in der XZ-Ebene und eine Startgeschwindigkeit in Y-Richtung.

Jetzt ist Bilderzeit! Howell gibt die Projektion der Trajektorien auf die XZ-Ebene, die XY-Ebene und die YZ-Ebene an. Hier sind sie, mit der Position der$L_1$Punkt und des markierten Planeten (letzterer mit seiner Masse$m_2$). Wenn Sie sich über die Einheiten wundern, sie sind einige ausgefallene, aber es ist nicht relevant, da die relevanten Positionen markiert sind.

Ich habe zwei rote Pfeile gezeichnet, die auf Umlaufbahnen auf der XZ-Projektion zeigen…

… was den beiden Bahnen entspricht, auf denen ich rote Rechtecke gezeichnet habe (wenn ich das richtig verstehe!).

Dann$L_1$erscheint nicht auf dem folgenden YZ-Diagramm, weil es dahinter verborgen ist$m_2$.

Die interessante Information hier sind die gestrichelten Umlaufbahnen: Sie sind die einzigen stabilen. Die Umlaufbahnen, die ich hervorgehoben habe, würden eindeutig als "Umlaufbahnen um die$L_1$Punkt", da sie in der Nähe dieses Punktes bleiben. Die stabilen Bahnen dagegen erfüllen dieses intuitive Kriterium nicht. Auf der XZ-Projektion sehen wir, dass der Körper auf dieser Bahn dem Planeten nahe kommt und dann weit weg wandert von der Ekliptikebene, bevor wir natürlich zurückkommen, da dies periodische Lösungen sind. Auf den XY-Projektionen können wir sehen, wie wenig Zeit dieser Körper über der Linie Planet verbringt.$L_1$. Und wenn es dort ist, ist es tatsächlich am weitesten von der Ekliptikebene entfernt, wie auf der gezeigt$XZ$Projektion. Umgekehrt, wenn der Körper auf die Ekliptikebene kommt, ist er am weitesten davon entfernt$L_1$!

Um zu wiederholen, was Sean geschrieben hat, was bedeutet es, dass die Umlaufbahn, die ich hervorgehoben habe, nicht stabil ist? Das bedeutet, dass die kleinste Störung, die den Körper auf diesen Umlaufbahnen entweder in Richtung Sonne oder in Richtung des Planeten drückt, dazu führen würde, dass der Körper von der Erde wegwandert$L_1$Punkt und gelangen entweder um die Sonne oder um den Planeten in eine Umlaufbahn. Da die Geschwindigkeit in der YZ-Ebene nicht sofort abgewürgt werden kann, bedeutet dies meiner Meinung nach, dass der Körper zunächst einer Art Schraube folgen würde, entweder in Richtung der zunehmenden X- oder der abnehmenden X-Richtung.

Die einzige Möglichkeit, diese instabilen Umlaufbahnen zu nutzen, besteht, wie Sean schrieb, darin, jeder Störung, die entlang der X-Achse drückt, aktiv entgegenzuwirken, indem zum Beispiel der Schub von Raketentriebwerken genutzt wird, oder schicker mit Sonnensegeln, die den Strahlungsdruck von ausnutzen Sonnenlicht. Ich habe nicht untersucht, wie ernst es ist, aber eine Veröffentlichung von Roger Angel erwägt, dieses Prinzip zu verwenden, um einen Schwarm von Raumfahrzeugen in der Nähe zu halten$L_1$Punkt, um die globale Erwärmung(?!) zu kompensieren.

Es sei darauf hingewiesen, dass Howell (1984) Analysen für die präsentiert$L_2$Und$L_3$Punkte sowie mit ähnlichen Schlussfolgerungen.

Fazit für das Projekt, das Sie in Ihrer früheren Frage vorgestellt haben, Maxwell: Es gibt wirklich keine Möglichkeit, das zu verwenden$L_1$zeigen, um einen großen Mond zu platzieren, um den Planeten vor der Sonne zu beschatten!

Howell (1984) Kathleen Connor Howell, Three-dimensional, periodic, `halo´ orbits, Celestial mechanics 32 (1984), 53–71

Nein. Die Lagrange-Punkte L1 bis 3 sind stabil gegenüber Verschiebungen senkrecht zur, sagen wir, Erde-Sonne-Linie. Deshalb haben sie Dinge, die als „Halo“-Umlaufbahnen bezeichnet werden . Wenn Sie sich jedoch entlang der Linie von dem Punkt wegbewegen, fallen Sie in eine Umlaufbahn um den Körper, dem Sie sich nähern. Diese Einschränkung begrenzt die Lebensdauer der JWST-Mission - der Bedarf an Treibstoff, um in der Nähe des Lagrange-Punktes zu bleiben.

Die stabilen Lagrange-Punkte sind L4 und 5. Beachten Sie, dass die Jupiter/Sonne L4 und L5 dort sind, wo sich der Jupiter-Trojaner und die griechischen Asteroiden ansammeln. Die Stabilität von L4 und 5 ist etwas seltsam, da Objekte, die sich von ihnen entfernen, in eine Lissajous-Umlaufbahn um sie herum eintreten.

• In einem System mit zwei schweren Körpern gibt es 5 Lagrange-Punkte. Die Positionen von L1, L2 und L3 können Sie mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes leicht selbst berechnen; L4 und L5 könnten schwieriger sein. Wenn Sie zusätzliche Körper (zusätzliche Planeten, Monde, ...) hinzufügen, wird das Problem nur in ganz bestimmten, einfachen Fällen lösbar sein.
• Bei der Berechnung dieser Punkte möchten Sie im Allgemeinen die Masse des Körpers im Orbit vernachlässigen, also möchten Sie wirklich nicht, dass diese Masse größer als ungefähr ist$1\%$der größeren Masse.