Geschlossene Gravitationsbahnen und Gradientensysteme

Question

Geschlossene Gravitationsbahnen und Gradientensysteme

Physik
Orbitalbewegung
komplexe Systeme
nichtlineare Systeme
klassische Mechanik

neugierig

Ich studiere derzeit in meiner Freizeit nichtlineare Dynamik. Einer der Sätze in dem Material ist, dass Systeme, die als Gradientenprobleme geschrieben werden können, keine geschlossenen Bahnen haben können, dh Systeme wie

\begin{matrix} (1) & \dot{X} = - \nabla v . \end{matrix}

$\dot{x}=-\nabla V.\tag{1}$

Ist das nicht die allgemeine Form eines Gravitationssystems mit $V$ wobei das Gravitationspotential (oder andere konservative Systeme) und $x$ der Schwung sein? Was übersehe ich hier, wenn ich weiß, dass solche Probleme (Schwerkraft und dergleichen) oft geschlossene Umlaufbahnen haben?

Siehe dies als Referenz http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf

wahrscheinlich_jemand

Ist es nicht normalerweise eher die Kraft als der Impuls, der proportional zum Potentialgradienten ist? Wenn ja, dann sollte das Gravitationssystem die Form haben

\ddot{x} = - \nabla V

$\ddot{x}=-\nabla V$ , nicht

\dot{x} = - \nabla V

$\dot{x}=-\nabla V$ .

neugierig

Ich nehme x=mv als Impuls. x ist nicht die Position. Also Änderungsrate des Impulses

(\dot{x})

$(\dot{x})$ ist die Kraft, die durch den Gradienten des Potentials gegeben ist. Habe ich etwas verpasst?

wahrscheinlich_jemand

Um mit der Definition des Gradientensystems konsistent zu sein (siehe zB cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/… ), muss Ihr System die Form haben

\dot{x} = - \nabla V (x)

$\dot{x}=-\nabla V(x)$ , also ist Ihr Potenzial impulsabhängig, wenn

x

$x$ ist Schwung. Dies ist eindeutig nicht gleichbedeutend mit einem Gravitationssystem, wo

V

$V$ ist stellungsabhängig. Aus diesem Grund ist es manchmal gefährlich, die Argumente von Funktionen wegzulassen.

neugierig

Ich wusste, dass mir etwas fehlte, konnte aber nicht herausfinden, was. Vielen Dank

Antworten (2)

Geschlossene Gravitationsbahnen und Gradientensysteme

Ist es nicht normalerweise eher die Kraft als der Impuls, der proportional zum Potentialgradienten ist? Wenn ja, dann sollte das Gravitationssystem die Form haben $\ddot{x}=-\nabla V$ , nicht $\dot{x}=-\nabla V$ .
Ich nehme x=mv als Impuls. x ist nicht die Position. Also Änderungsrate des Impulses $(\dot{x})$ ist die Kraft, die durch den Gradienten des Potentials gegeben ist. Habe ich etwas verpasst?
Um mit der Definition des Gradientensystems konsistent zu sein (siehe zB cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/… ), muss Ihr System die Form haben $\dot{x}=-\nabla V(x)$ , also ist Ihr Potenzial impulsabhängig, wenn $x$ ist Schwung. Dies ist eindeutig nicht gleichbedeutend mit einem Gravitationssystem, wo $V$ ist stellungsabhängig. Aus diesem Grund ist es manchmal gefährlich, die Argumente von Funktionen wegzulassen.
Ich wusste, dass mir etwas fehlte, konnte aber nicht herausfinden, was. Vielen Dank

QMechaniker · Answer 1

OPs Gl. (1) ist die aristotelische Mechanik
$\begin{matrix} (A) & M {\dot{Q}}^{ich} = - \frac{\partial v (Q)}{\partial Q^{ich}} \Rightarrow v_{ich} - v_{F} = 2 \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T E_{k ich N} \end{matrix}$ $m\dot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i} \qquad\Rightarrow\qquad V_i-V_f ~=~2 \int_{t_i}^{t_f} \! \mathrm{d}t ~E_{{\rm kin}} \tag{A}$ Das ist dissipativ. Es gibt keine $^1$ geschlossene Bahnen.
Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik
$\begin{matrix} (N) & M {\ddot{Q}}^{ich} = - \frac{\partial v (Q)}{\partial Q^{ich}} \Rightarrow v_{ich} + E_{k ich N, ich} = v_{F} + E_{k ich N, F} \end{matrix}$ $m\ddot{q}^i~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i}\qquad\Rightarrow\qquad V_i+E_{{\rm kin},i} ~=~ V_f+E_{{\rm kin},f} \tag{N}$ bewahrt mechanische Energie für konservative Kräfte.

--

$^1$ Indirekter einzeiliger Beweis: Ein geschlossener Orbit würde bedeuten, dass die linke Seite der zweiten Gleichheit in Gl. (A) ist Null, aber die RHS ist eindeutig positiv. Widerspruch. $\Box$

wahrscheinlich_jemand · Answer 2

Was Sie verwirrt, ist die Tatsache, dass Sie das Argument von implizit weggelassen haben $V$ . Die Definition des Gradientensystems ( http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/224/cds140b-perorb.pdf ) ist so

\dot{X} = - \nabla v (X)

$\dot{x}=-\nabla V(x)$

also wenn du definierst $x$ Impuls sein, dann haben Sie jetzt ein impulsabhängiges Potential, das nicht mit einem Gravitationssystem äquivalent ist (es hat ein nur ortsabhängiges Potential).

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wahrscheinlich_jemand

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