Wie wendet man die Störungstheorie in klassischen Systemen richtig an?

Kontext: Wenn wir ein Teilchen in Aufwärtsbewegung in der Nähe der Erdoberfläche betrachten, auf das ein quadratischer Widerstand wirkt, erhalten wir das nichtlineare eom:

$$\frac{dv}{dt}=-g-\frac{b}{m}v^2.$$ Wir können es perturbativ lösen, $$v=v_{(0)} +\lambda v_{(1)}+\lambda^2 v_{(2)}+\dots,$$ Wo $\lambda=\frac{bv_0}{mg}$Und $v_0$ist die Anfangsgeschwindigkeit. Auftrag für Auftrag lösen wir $$v=v_0-gt+\lambda\left( -gt+\frac{g^2t}{v_0}-\frac{g^3t^3}{3v_0^2}\right)+O(\lambda^2).$$

Jetzt versuchen wir, die Methode naiv auf eine einfache harmonische Bewegung anzuwenden

$$\ddot x+\omega_0^2x-\lambda\omega_0^2 x=0,$$ einfach durch Erweitern $$x=x_0+\lambda x_1+\lambda^2 x_2+\ldots.$$ Mit Anfangsbedingungen $x(0)=A$Und $\dot x(0)=0$Wir bekommen die Lösung $$x(t)=A\cos(\omega_0t)+\frac{\lambda A\omega_0 t}{2}\sin(\omega_0 t)+O(\lambda^2),$$ was aufgrund des linear (mit der Zeit) wachsenden säkularen Begriffs nicht akzeptabel ist .

Wir lösen es, indem wir die Methode verbessern. Wir lassen zu, dass sich die Frequenz ändert,

$$\omega=\omega_0+\lambda\omega_1+\lambda^2\omega_2+\ldots,$$ und wende den Lindsted-Poincare- Trick an. Dann werden wir den säkularen Begriff los und erhalten sofort die erste Korrektur in der Frequenz.

Wir wussten, dass die Lösung mit dem säkularen Term physikalisch nicht akzeptabel war, weil wir wissen, dass die Bewegung des Oszillators begrenzt sein sollte. Außerdem können wir diesen Oszillator leicht lösen, da er einfach ist

$$\ddot x+\omega_0^2(1-\lambda)x=0,$$ dessen Lösung harmonisch mit der Frequenz schwingt $\omega_0\sqrt{1-\lambda}$.

Frage: Angenommen, ich habe ein nichtlineares System, dessen Entwicklung ich nicht ausreichend einschätzen kann (vielleicht weiß ich nicht einmal, welches physikalische System es beschreibt). Woher weiß ich dann, ob die reguläre Störungstheorie (diese naive) funktioniert? Gibt es Kriterien, die angeben, ob ich die Methode erweitern muss (z. B. mit "Tricks" wie dem von Lindsted-Poincare)?

Referenzen: Eines der schönsten Materialien auf Bachelor-Niveau, das ich gefunden habe, ist diese Vorlesungsnotiz . Es wird diskutiert, wie die reguläre Störungstheorie für eine oszillierende Bewegung versagt. Aber es beantwortet nicht die Fragen, die ich hier gestellt habe. Eine andere Stelle, an der ich etwas gefunden habe, ist Gregorys Buch über klassische Mechanik. Allerdings fand ich die Diskussion sehr kurz. Jetzt habe ich ein Dover-Buch über klassische Störungstheorie bekommen, das ganz nett aussieht, aber ich stehe noch am Anfang.