Ist *jedes* planare/2D-System integrierbar?

Eine globale Integrierbarkeitsaussage für allgemeine 2D-Systeme gilt nicht, aber eine lokale Integrierbarkeitsaussage ist wahr. Lassen Sie uns die OP-Frage wie folgt umformulieren.

Angenommen, wir haben ein zweidimensionales Problem erster Ordnung

$$\dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y), \tag{1}$$ Wo$f$Und$g$sind zwei gegebene glatte Funktionen. Ist Gl. (1) ein Hamiltonsches System $$\dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\}, \tag{2}$$ mit symplektischer Struktur$\{\cdot,\cdot\}$und Hamiltonian$H(x,y)$?

Die Antwort lautet vielleicht überraschend: Ja, immer, zumindest lokal. Der Hamiltonian$H$ist das gesuchte Bewegungsintegral/erstes Integral .

1. Beweis: In zwei Dimensionen ist eine Poisson-Klammer vollständig durch die fundamentalen Poisson-Klammer-Beziehungen spezifiziert

   $$\{x,y\} ~=~B(x,y)~=~-\{y,x\}, \qquad \{x,x\}~=~0~=~\{y,y\}, \tag{3}$$ Wo$B$ist eine Funktion, die nicht den Wert Null annimmt. [Übung: Überprüfen Sie, ob Gl. (3) erfüllen automatisch die Jacobi-Identität .] Die Hamilton-Gl. (2) werden $$\dot{x}~=~B\frac{\partial H}{\partial y}, \qquad \dot{y}~=~-B\frac{\partial H}{\partial x}.\tag{4}$$ Betrachten Sie als nächstes die Eins-Form $$\eta ~:=~ f{\rm d}y -g{\rm d}x, \tag{5}$$ was möglicherweise ein ungenaues Differential ist . Aus der Theorie der PDEs ist jedoch bekannt, dass lokal ein integrierender Faktor existiert$\frac{1}{B}$, so dass die Eins-Form $$\frac{1}{B}\eta~=~{\rm d}H \tag{6}$$ ist lokal ein exaktes Differential , das durch eine Funktion gegeben ist$H$. Es ist einfach zu überprüfen, ob man es verwenden kann$B$als Poisson-Struktur (3) und$H$als Hamiltonian.$\Box$

2. Anmerkung. Die Existenz eines Paares kanonischer Variablen$q(x,y)$Und$p(x,y)$, mit$\{q,p\}=1$, werden wiederum lokal durch den Satz von Darboux garantiert .

3. Beispiel: Wenn$f$Und$g$homogene Funktionen gleicher Ordnung sind , und wenn man will

   $$B~=~ y f - x g, \tag{7}$$ dann kann man prüfen, ob die Eins-Form$\frac{1}{B}\eta$ist geschlossen. Ein Hamiltonianer$H$kann somit durch Konturintegration der Einsform (6) gefunden werden.

4. Beispiel: gedämpfter 1D-Oszillator : Gl. der Bewegung:

   $$\dot{v}~=~-2bv-\omega^2x, \qquad \dot{x}~=~v. \tag{8}$$ Poisson-Klammer: $$B(x,v) ~=~ v^2 + 2 b v x + \omega^2 x^2. \tag{9}$$ Hamiltonian: $$\begin{align} H(x,v)~=~&\frac{1}{2}\ln|B(x,v)|\cr ~+~&\left\{\begin{array}{ccr} \frac{b}{\sqrt{\omega^2-b^2}}\arctan\frac{\sqrt{\omega^2-b^2} x}{v + b x}&\text{if underdamped}& |b|~<~ \omega,\cr\cr \frac{bx}{v + b x}&\text{if critically damped}& |b|~=~ \omega,\cr\cr \frac{b}{\sqrt{b^2-\omega^2}}\left\{\begin{array}{c}{\rm artanh}\cr{\rm arcoth}\end{array}\right\}\frac{\sqrt{b^2-\omega^2} x}{v + b x}&\text{if overdamped}& |b|~>~ \omega.\cr \end{array} \right.\tag{10} \end{align}$$

5. Beispiel: Math.SE q1577274 .

6. Gegenbeispiel. Lösungen zu diff. Gl. existieren in der Regel nur lokal. In Betracht ziehen

   $$f(q,p)~=~\frac{q}{q^2+p^2}\quad\text{and}\quad g(q,p)~=~\frac{p}{q^2+p^2}\tag{11}$$ in der Domäne$D=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\},$was nicht kontrahierbar ist. Es ist relativ einfach, das zu überprüfen $$\eta~=~f\mathrm{d}p-g\mathrm{d}q ~=~\frac{q\mathrm{d}p-p\mathrm{d}q}{q^2+p^2} \tag{12}$$ ist geschlossen$1$-Form, und es gibt keinen global definierten Hamiltonoperator$H$An$D$so dass Gl. (2) zufrieden sind. Das Beste, was man tun kann, ist zu setzen$H$gleich einem einwertigen Zweig von${\rm arg}(q+ip)$, die nicht global definiert ist.

7. Gegenbeispiel: Vertragsdomäne ohne globale Lösung: Math.SE q2710698 .