Freie Energie in Allen-Cahn PDE

Ich bin Mathematiker und studiere mathematische Physik. Im Teil der Reaktions-Diffusions-Gleichungen gibt es etwas, das ich nicht verstehe. Ich habe die Allen-Cahn-Gleichung als definiert

u T = u X X + u − u 3 .
Dann schrieb der Professor die Gleichung als
u T = u X X − W ' ( u ) ,
Wo
W ( u ) = 1 / 4 − u 2 / 2 + u 4 / 4.
Die freie Energie wurde definiert als
H [ u ] = ∫ Ω ( 1 2 u X 2 + W ( u ) ) D X .
Ich verstehe nicht, was diese freie Energie zu modellieren versucht. Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass das Teil 1 / 2 ∫ Ω u X 2 D X wird Dirichlet-Energie genannt , aber ich kann keine physikalische Interpretation dafür finden. Könnten Sie eine einfache Erklärung dafür geben? H [ u ] für einen theoretischen Mathematiker?

H wann minimiert wird u erfüllt die AC-Gleichung. Es misst also, wie weit u ist von der Lösung zum PDE. Der erste Term bestraft die Ableitung und der zweite den Wert von u selbst. Physiker würden "kinetische Energie" und "potenzielle Energie" sagen, obwohl ich nicht sicher bin, wie nützlich diese Begriffe für Sie sind. Suchst du danach? Können Sie klarstellen, wie genau Sie Antworten erwarten? fragen Sie vielleicht nach einer expliziten "realen" Situation der AC-Modelle?
@AccidentalFourierTransform Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich habe gerechnet D D T H [ u ] = − ∫ Ω u T 2 D X , Wenn u erfüllt die AC-Gleichung. Ich habe auch die erste Variante von berechnet H [ u ] ( T ) für jede T . In beiden Fällen habe ich Gleichgewichte erhalten, wenn u X X − W ' ( u ) = 0 . Was meinst du mit minimieren H ? Auch die kinetische Energie hat hier etwas mit zu tun 1 / 2 M v 2 ? Wie groß sind Masse und Geschwindigkeit in der Dirichlet-Energie? Ich habe gelernt, dass der negative Gradient des Potentials die Kraft ist. Ist dieses Konzept hier anwendbar?
Entschuldigung, ich habe die Funktion falsch gelesen H . Mein obiger Kommentar ist größtenteils falsch.

Antworten (1)

H ist wie ein Potential und das System wird immer zu kleineren Werten "rollen". H (anders als in der Hamiltonschen Mechanik, aber viel eher als in „ Gradientenflüssen “), dh H ist eine Lyapunov-Funktion der Allen-Cahn-Dynamik: Sie nimmt mit der Zeit ab, es sei denn, es wird ein stationärer Zustand erreicht. In diesem Fall wird die Zeitentwicklung versuchen, Inhomogenitäten zu glätten (d. h. abnehmen ( ∂ X u ) 2 ) und es wird eine Anziehung zu den Werten geben u = ± 1 (da dies die Minima von sind W ). Je nach Ausgangsbedingungen mind H erreicht werden kann oder nicht (Wenn die Anfangsdaten z u ( T = 0 , X ≥ 0 ) = 1 = − u ( T = 0 , X < 0 ) , dann kann die resultierende Lösung ein Minimum von nicht erreichen H .

Eine freie Energie ist typischerweise nicht einfach eine Lyapunov-Funktion. Wir verstehen es als eine Art Boltzmann-Entropie (sagen wir, es gibt eine zugrunde liegende mikroskopische Dynamik mit einer lokalen detaillierten Gleichgewichtseigenschaft , die sich für makroskopische Dichten auf Allen-Cahn reduziert): Die freie Energie zählt die Anzahl der Mikrozustände, die mit dem beobachteten makroskopischen übereinstimmen Dichteprofil.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich habe eine Frage. Wie ich in einem früheren Kommentar sagte, wird ein Gleichgewicht erreicht, wenn 0 = u X X − W ' ( u ) = u X X + u − u 3 . Wir können dies als ein autonomes System von ODEs betrachten X ˙ = Y , Y ˙ = X 3 − X , und zeichnen Sie seine Dynamik auf einer Ebene mit Achsen auf X = u Und Y = u X . Lassen H ~ ( X , Y ) = Y 2 / 2 + W ( X ) sei die Funktion innerhalb des Integrals von H . Als X 0 = ± 1 ist ein Minimum von W , Dann ( ± 1 , 0 ) ist ein stabiler Fixpunkt (die Anziehungskraft, die Sie erwähnt haben ± 1 ), unter Berücksichtigung der Lyapunov-Funktion v = H ~ − H ~ ( ± 1 , 0 ) . Meine Frage ist...
... Warum H wird eigentlich als Lyapunov-Funktion bezeichnet H ~ (Also, v ) ist die Funktion eine Lyapunov-Funktion für ein System von ODEs. Gibt es ein Konzept der Lyapunov-Funktion für PDEs?
Und schließlich zu einem anderen Thema, warum ist das Teil 1 / 2 ∫ Ω u X 2 D X normalerweise als Dirichlet-Energie bezeichnet? Wo ist die Masse oder Geschwindigkeit, damit sie als kinetische Energie interpretiert werden könnte? Und warum ist W dort ein Potential genannt? Ist sein Gradient eine Art Kraft?
Ich denke, dass in der Physik-Community der Begriff "Lyapunov-Funktion" tatsächlich breiter verwendet wird: In einem dynamischen System (in diesem Fall Dichteprofile, die sich nach Allen-Cahn entwickeln) eine Funktion F (Domäne=Zustandsraum, Kodomäne=R) ist Lyapunov, wenn sie niemals mit der Zeit zunimmt (schwächere Version) oder sogar abnehmen muss, es sei denn, das System ist in einem stationären Zustand angekommen (=was Sie Gleichgewicht nennen. Dies ist eine stärkere Version der Lyapunov-Liegenschaft). Die Dirichlet-Energie ist nur formal analog zur kinetischen Energie (in dieser Ableitung ∂ X in diesem Begriff auf dem Feld handeln).
im Begriff W keine Derivate wirken auf dem Feld u . Deshalb werden die Leute dies als Potenzial denken und davon sprechen. Wie auch immer, dies sind nur Fragen der Terminologie und -a priori- vielleicht nicht so wichtig.
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