Rosa Rauschen (1/f) wird oft als Signatur komplexer oder kritischer Systeme angeführt. Kann ein niedrigdimensionales zeitunabhängiges System erster Ordnung rosa Rauschen erzeugen?
Intuitiv scheint die Antwort nein lauten zu müssen, da rosa Rauschen nicht triviale langreichweitige Korrelationen aufweist, die im Gegensatz zu braunem Rauschen nicht durch die Transitivität von kurzreichweitigen Korrelationen erklärt werden können. Dies scheint zu implizieren, dass das System eine Art Langzeitgedächtnis haben muss, das höhere Dimensionen erfordern würde.
Gibt es dafür einen formalen Beweis oder ein Gegenbeispiel? Mich interessieren vor allem physikalisch plausible Systeme. Ich interessiere mich weniger für Systeme, die reelle Zahlen als unendliche Bitströme behandeln, indem sie symbolische Berechnungen verwenden. Die Systeme sollten ungefähr rosa Rauschen erzeugen, selbst wenn der interne Zustand nur mit endlicher Genauigkeit gespeichert wird.
Ich verstehe, dass echtes rosa Rauschen physikalisch nicht möglich ist, da es sowohl infrarote als auch ultraviolette Katastrophen aufweisen würde.
Die Frage ist auf zeitunabhängige Systeme beschränkt, um das Summieren der Beiträge der Fourier-Komponenten als Funktion der Zeit und zur ersten Ordnung auszuschließen, da Systeme höherer Ordnung in Wirklichkeit getarnte höherdimensionale Systeme sind.
Wenn Sie sich auf physikalisch realistische Systeme (die nicht per se stochastisch sind) beschränken wollen, können wir uns zum Beispiel auf gewöhnliche Differentialgleichungen beschränken
mit glatt und nicht lächerlich komplex (z. B. kein Polynom mit hundert Termen).
Die Dynamik dieses Systems wird durch invariante Mannigfaltigkeiten in Bezug auf die durch gegebene Phasenraumströmung bestimmt . Im Falle eines periodischen Systems konvergieren die Trajektorien zu einigen dieser Mannigfaltigkeiten; im Falle eines chaotischen Systems sind die Dinge komplizierter und die Trajektorien werden durch ein Wechselspiel von Abstoßung von instabilen und Anziehung zu stabilen Mannigfaltigkeiten bestimmt, aber sie bewegen sich immer noch grob entlang ihnen. Nun geschehen Bewegungen entlang eines gegebenen Teils dieser Mannigfaltigkeiten auf der gleichen Zeitskala (für jede Richtung). Der entscheidende Punkt ist nun, dass wir in einem System wie oben beschrieben nur wenige Mannigfaltigkeiten und Bewegungsrichtungen und damit Zeitskalen haben.
Nun erhalten wir ein gewisses Schwingungsverhalten durch die Dynamik, die sich entlang zumindest einiger dieser Mannigfaltigkeiten bewegt, wobei die Frequenz durch die oben erwähnten Zeitskalen bestimmt wird. Diese Frequenzen müssen nicht exakt angegeben werden (im Falle eines chaotischen Systems), aber sie können nur bis zu einem gewissen Grad verschmiert werden. Um ein viele Frequenzskalen überspannendes Rauschspektrum zu approximieren, benötigt man also viele Zeitskalen im System, was in einem niederdimensionalen System unmöglich ist.