Energieeinsparung ohne Wirkungsprinzip?

Question

Energieeinsparung ohne Wirkungsprinzip?

Physik
Symmetrie
komplexe Systeme
Erhaltungsgesetze
nichtlineare Systeme
Energieeinsparung

Robert Mastragostino

Der normale Slogan für die Energieerhaltung ist, dass es sich um eine konservierte Größe handelt, die mit der Zeittranslationsinvarianz verbunden ist. Ich verstehe, wie dies für Theorien funktioniert, die von einem Lagrange stammen, und dass dies der Kontext ist, auf den sich die obige Aussage beziehen soll, aber ich bin gespannt, ob dies im Allgemeinen zutrifft oder nicht (dh im weiteren Sinne wahr ist). Kontext, der durch den Satz von Noether gezeigt werden kann). Ich bleibe bei einzelnen ODEs, da mir dieser Fall bereits unklar ist. Wenn wir eine Differentialgleichung haben

\ddot{X} = F (X, \dot{X})

$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$

für allgemein $f$ dies besitzt eindeutig Zeitübersetzungssymmetrie. Dies spart keine Energie, wie der Begriff normalerweise verwendet wird, da dies Beispiele wie einen gedämpften harmonischen Oszillator umfasst. Gibt es jedoch tatsächlich keine Erhaltungsgröße, die mit der Symmetrie verbunden ist? Wenn keine Abhängigkeit besteht $\dot{x}$ Wir können leicht ein Bewegungsintegral finden, aber ich bin mir nicht sicher, warum eine Abhängigkeit davon besteht $\dot{x}$ würde das ruinieren.

Konstantin Schwarz

Hallo. Vielleicht ist es nur die mechanische Energie, die keine Bewegungskonstante ist. Die Gesamtenergie sollte erhalten bleiben, aber ich weiß nicht, wie ich ein solches Ergebnis ableiten soll.

Antworten (4)

Energieeinsparung ohne Wirkungsprinzip?

Hallo. Vielleicht ist es nur die mechanische Energie, die keine Bewegungskonstante ist. Die Gesamtenergie sollte erhalten bleiben, aber ich weiß nicht, wie ich ein solches Ergebnis ableiten soll.

QMechaniker · Answer 1

(Nach der möglichen Einführung weiterer Variablen) erwägt OP im Wesentlichen ein autonomes System von $n$ gekoppelte ODE 1. Ordnung s

\begin{matrix} (1) & \frac{D \vec{z} (T)}{D T} = \vec{F} (\vec{z} (T)), F : U \to R^{N}, U \subseteq R^{N}, \end{matrix}

$\tag{1} \frac{d\vec{z}(t)}{dt}~=\vec{f}(\vec{z}(t)), \qquad f: U \to \mathbb{R}^n , \qquad U\subseteq \mathbb{R}^n,$

dh ohne explizite Zeitabhängigkeit, so dass das System (1) Zeittranslationssymmetrie besitzt.

OP überlegt nun, ob es eine nicht-triviale Funktion gibt $h:U\to\mathbb{R}$ so dass $t\mapsto h(\vec{z}(t))$ entlang jeder Lösung des Systems (1) konstant ist?

Der Vorbehalt ist das $h$ darf nur von der Strukturfunktion abhängen $f$ des Systems (1), aber nicht zB von den Anfangsbedingungen für eine Lösung.

Für $n\geq 3$ , solch $h$ gibt es generell nicht. Es gibt jedoch zwei wichtige Ausnahmen:

Wenn das System eine autonome Aktionsfunktionsformulierung hat , dann zeigt der Satz von Noether , dass die entsprechende Energiefunktion auf der Schale erhalten bleibt. (Dieser Fall wird bereits von OP erwähnt.)
Im Falle $n=2$ , auf den sich OP tatsächlich konzentrieren wollte, dann gibt es (in hinreichend kleinen offenen Nachbarschaften) immer eine autonome hamiltonsche Formulierung des Systems (1), vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Der Hamiltonian $H$ selbst ist eine Erhaltungsgröße. (Der Fall $n=1$ hat auch eine Erhaltungsgröße.)

Aus physikalischer Sicht ist es natürlich, die Funktion zuzuordnen $h$ mit der Energie des Systems. Wenn diese Identifikation richtig wäre, dann wären alle dissipativen Systeme Gegenbeispiele. Jedoch $h$ muss nicht die tatsächliche physikalische Energie des Systems sein. Siehe zB diese Nicht-Standard-Funktionsformulierung eines dissipativen Systems. Trotzdem, so klein- $n$ Unfälle werden seltener als $n$ wächst.

Bild357 · Answer 2

Ich glaube, ich kann mich an die Ableitung für ein konservatives Kraftfeld in der klassischen Mechanik erinnern, was eine etwas stärkere Annahme ist als die reine Zeittranslationsinvarianz.

Lassen $\vec{F}$ ein konservatives Kraftfeld sein, das heißt

\nabla \times \vec{F} = 0

$\nabla \times \vec{F} = 0$ oder alternativ

ϕ := - \int_{γ} \vec{F} \cdot D \vec{A}

$\phi := -\int_\gamma \vec{F} \cdot d\vec{a}$ hängt nicht vom Weg ab

γ

$\gamma$ und seine Parametrisierung

\vec{a} (s)

$\vec{a}(s)$ , aber nur auf den "endpoints".

Nehmen Sie Newtons Bewegungsgleichung:

M \ddot{\vec{R}} = \vec{F}

$m \ddot{\vec{r}} = \vec{F}$ mal

\dot{\vec{r}}

$\dot{\vec{r}}$ und im Laufe der Zeit integrieren

M \int_{T_{0}}^{T} \frac{D \dot{\vec{R}}}{D T} \cdot \dot{\vec{R}} D T = \int_{T_{0}}^{T} \vec{F} \cdot \dot{\vec{R}} D T

$m \int_{t_0}^t \frac{d \dot{\vec{r}}}{dt} \cdot \dot{\vec{r}} ~dt = \int_{t_0}^t \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} ~dt$

M \int_{{\vec{v}}_{0}}^{\vec{v}} \dot{\vec{R}} \cdot D \dot{\vec{R}} = \int_{{\vec{R}}_{0}}^{\vec{R}} \vec{F} \cdot D \vec{R}

$m \int_{\vec{v}_0}^{\vec{v}} \dot{\vec{r}} \cdot d \dot{\vec{r}} = \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F} \cdot d \vec{r}$

M \int_{v_{0}}^{v} v D v + M \int_{{\vec{N}}_{0}}^{\vec{N}} v^{2} \vec{N} \cdot D \vec{N} = - ϕ (\vec{R}) + ϕ ({\vec{R}}_{0})

$m \int_{v_0}^{v} v ~dv + m \int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = -\phi(\vec{r}) + \phi(\vec{r}_0)$

\frac{1}{2} M v^{2} - \frac{1}{2} M v_{0}^{2} + M \int_{{\vec{N}}_{0}}^{\vec{N}} v^{2} \vec{N} \cdot D \vec{N} = - ϕ (\vec{R}) + ϕ ({\vec{R}}_{0})

$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + m \int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = -\phi(\vec{r}) + \phi(\vec{r}_0)$ mit

\vec{n}

$\vec{n}$ der Einheitsvektor zeigt in Richtung der Geschwindigkeit

\vec{v} = \dot{\vec{r}} = v \cdot \vec{n}

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = v\cdot\vec{n}$ . Das verbleibende Integral ist ein Bahnintegral über eine Bahn auf der Einheit Kreis/Kugel . Das ist:

\vec{n} ⊥ \frac{d \vec{n}}{d s}

$\vec{n} \perp \frac{d\vec{n}}{ds}$ für beliebige Parametrierung

\vec{n} (s)

$\vec{n}(s)$ . Somit haben wir:

\int_{{\vec{N}}_{0}}^{\vec{N}} v^{2} \vec{N} \cdot D \vec{N} = 0

$\int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = 0$ und wir haben übrig:

\frac{1}{2} M v^{2} + ϕ (\vec{R}) = \frac{1}{2} M v_{0}^{2} + ϕ (\vec{R_{0}}) = konst.

$\frac{1}{2} m v^2 + \phi(\vec{r}) = \frac{1}{2} m v_0^2 + \phi(\vec{r_0}) = \text{const.}$

Jan · Answer 3

Ich glaube, dies wird in Nonlinear Dynamics and Chaos von Strogatz diskutiert. Ich erinnere mich nicht an die Details, aber es lohnt sich, sich seine Diskussion einer Energiefunktion anzusehen.

lurscher · Answer 4

Hier wird erklärt, was Sie meiner Meinung nach fragen:

Wir arbeiten mit einer Formulierung der Noether-Symmetrieanalyse, die die Eigenschaften von infinitesimalen Punkttransformationen in den Raum-Zeit-Variablen nutzt, um den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen eines dynamischen Systems herzustellen. Hier werden Symmetrien in Form von Generatoren ausgedrückt. Wir haben die Variations- oder Noether-Symmetrien des gedämpften harmonischen Oszillators untersucht, die ihn durch einen explizit zeitabhängigen Lagrange darstellen, und festgestellt, dass eine Gruppe von Transformationen mit fünf Parametern das Aktionsintegral invariant lässt. Unter den zugehörigen Erhaltungsgrößen sind nur zwei funktionell unabhängig. Diese beiden Erhaltungsgrößen bestimmen die Lösung des Problems und entsprechen einer zweiparametrigen abelschen Untergruppe.

Zusammenfassend wird also festgestellt, dass die Differentialoperatorgleichung

\ddot{X} + β \dot{X} + γ X = 0

$\ddot{x} + \beta \dot{x} + \gamma x = 0$

ist kein selbstadjungierter Operator, also kann es nach dem Helmoltz-Kriterium keinen Lagrange haben, aber durch Hinzufügen eines Faktors von $e^{\lambda t}$ es kann durch die Lagrange-Funktion selbstadjungiert werden

L = e^{λ T} (\frac{{\dot{X}}^{2}}{2} - \frac{ω^{2} X^{2}}{2})

$L = e^{\lambda t} \Big ( \frac{ \dot{x}^2}{2} - \frac{ \omega^2 x^2}{2} \Big )$

was die Zeitabhängigkeit des Lagrange-Operators mit der Zeit explizit lässt

Energieeinsparung ohne Wirkungsprinzip?

Robert Mastragostino

Konstantin Schwarz

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QMechaniker

Bild357

Jan

lurscher

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