Intuitive Erklärung dafür, warum Zeitsymmetrie Energieerhaltung impliziert?

Hier ist eine einfachere Möglichkeit, darüber nachzudenken.

Stellen Sie sich vor, die Gesetze der Physik könnten zeitabhängig sein, und Sie sorgen dafür, dass das Gesetz der Schwerkraft an einem ansonsten toten Donnerstagnachmittag abgeschaltet wird.

In Erwartung dieses nützlichen Ereignisses haben Sie eine Maschine aufgestellt, die mit fallenden Gewichten nützliche Arbeit verrichtet, und einen Haufen Gewichte, die bereit sind, in einen hoch über der Maschine montierten Behälter gelegt zu werden, aus dem sie nach unten in sie eingeführt werden.

Dann kommt der Donnerstag, und wenn die Schwerkraft abgeschaltet ist, ist es für Sie einfach, all diese Gewichte nach oben und in den Behälter zu heben. Später an diesem Nachmittag, wenn die Schwerkraft wieder einsetzt, schalten Sie die Maschine ein und sie produziert nützliche Arbeit, die Sie nichts kostet, weil die Schwerkraft ausgeschaltet war, während Sie die Maschine mit Gewichten beladen haben.

Auf diese Weise können Sie durch Ein- und Ausschalten der Schwerkraft die Energieerhaltung verletzen.

Sie haben Recht, dass die Zeitinvarianz der Gesetze keine Energieeinsparung erfordert.

Es ist ein häufiges Missverständnis des Inhalts von Noethers Theorem. Es geht nicht darum, dass "physikalische Gesetze zeitunabhängig sind", was impliziert, dass "das physikalische Konzept der Energie erhalten bleibt". Das sind vereinfachte umgangssprachliche Aussagen, die leicht zu sagen und zu merken sind, aber sie sind ungenau. Es gibt zwei Probleme mit solchen faulen Formulierungen.

Erstens kann ich ein zeitinvariantes Gesetz der Physik haben, dass jedes Teilchen beide Hooke-elastischen Kräfte erfährt$-kx_k$und Reibungskraft$-\gamma m \dot{x}_k$. Ein solches physikalisches Gesetz würde bedeuten, dass der physikalische Energiebegriff (aufgrund der Reibungskraft) nicht erhalten bleibt. Sie können sehen, dass dieses hypothetische physikalische Gesetz zeitinvariant ist, Energie jedoch nicht erhalten bleibt. Also können wir das Noether-Theorem nicht so formulieren - es funktioniert nicht.

Zweitens sagt Noethers Theorem nicht „das physikalische Konzept der Energie ist konserviert“, sondern „es gibt eine entsprechende konservierte Größe basierend auf dem Aktionsausdruck und der Transformation, die geht$S$unveränderlich, ihre Interpretation liegt bei Ihnen, es kann Energie sein oder nicht".

Lassen Sie uns das Noether-Theorem für den Spezialfall der Zeitkoordinatenverschiebungsinvarianz formulieren. Wir brauchen einen Ausdruck für das Wirkungsintegral, zum Beispiel den Ausdruck

$$S(t_0) = \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t} L~ dt'$$

Wo$L$ist eine Funktion von Koordinaten und ihren Ableitungen. Der Satz von Noether besagt, dass wenn$S$hat die "Symmetrie", dass Zeitübersetzungen es nicht ändern (lesen Sie:$S$ist invariant in Bezug auf die Änderung der Zeitkoordinate$t_0$):

$$\frac{\partial S}{\partial t_0}(t_0) = 0 ~~~\forall t_0,$$ dann die Menge

$$Q = \sum_n\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \dot{q}_k - L$$ ändert sich nicht, wenn sich das System mit der Zeit entwickelt - es ist eine "Konstante der Bewegung".

Allerdings besagt weder der Satz von Noether noch eine andere allgemeine Regel, dass diese Größe Energie (im physikalischen Sinne) sein muss!

Es gibt Beispiele, wo die Menge$Q$ ist Energie, wie die Lagrange-Funktion eines harmonischen Oszillators

$$\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}kx^2$$ und andere Beispiele, bei denen es sich nicht um Energie handelt, wie der Lagrange des gedämpften harmonischen Oszillators (Havas' Lagrange [1]):

$$L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) -$$ $$-\frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2)$$

Um dies abzurunden, sagt Noethers Theorem, dass die Existenz einer Symmetrie der Aktion die Existenz der entsprechenden Erhaltungsgröße, Periode, Punkt impliziert. Die Interpretation dieser Größen ist manchmal einfach (Gesamtenergie), manchmal nicht (Havas' Hamilton-Operator, der zeitlich erhalten bleibt und daher keine Gesamtenergie sein kann).

[1] Havas P., Der Anwendungsbereich des Lagrange-Formalismus - I, Nuovo Cim. 5 (Ergänzung), 363 (1957)

Es ist leicht, sich ein Universum vorzustellen, das Zeitsymmetrie, aber keine Energieerhaltung hat.

Es fällt mir sicherlich nicht leicht. Zeittranslationssymmetrie bedeutet für mich, dass ich ein System in einem beliebigen Anfangszustand starte$x_0$zu irgendeiner Anfangszeit$t_0$, dann wird es sich auf die gleiche Weise entwickeln, egal was$t_0$Ist. Aber da die Evolution durch die Hamilton-Gleichungen erzeugt wird, wenn sich das System dann anders entwickelt$H$muss zu verschiedenen Zeiten eine andere Funktion der Phasenraumvariablen sein (d.h$H$ist explizit zeitabhängig). Im Wesentlichen gilt die gleiche Idee in der Lagrange-Mechanik, wenn Sie das Problem in diesen Formalismus übersetzen möchten.

Also keine Zeittranslationssymmetrie$\implies$ $H$ist eine explizite Funktion der Zeit, was bedeutet, dass der Zahlenwert von$H$wird durch die Zeitentwicklung nicht bewahrt. Andererseits, wenn$H$keine explizite Funktion der Zeit ist , zeigt das gleiche Argument, dass Sie eine Zeittranslationssymmetrie haben werden .

In umgekehrter Richtung impliziert das Vorhandensein von Zeittranslationssymmetrie dies$\frac{\partial H}{\partial q}$Und$\frac{\partial H}{\partial p}$beiden fehlt eine explizite Zeitabhängigkeit. Es ist möglich, dass$H$enthält einige Zeitabhängigkeiten wie$H(x,p,t) = H_0(x,p) + H_1(t)$, Aber$H_1$wäre völlig irrelevant für die Dynamik des Systems und$H_0=H-H_1$die Rolle der Erhaltungsgröße übernehmen würde.

Der Satz von Noether ist völlig allgemein und macht es einfach, mit minimalem Aufwand allgemeine Ergebnisse zu liefern. Ihre Allgemeingültigkeit und ihre Beziehungen zu Symmetrien werden jedoch manchmal missverstanden.

Ein typisches Missverständnis ist, dass der Satz von Noether notwendig ist, um die Beziehungen zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen zu untersuchen. Dies ist nicht der Fall, wie die Antwort von Chiral Anomaly auf eine verwandte Frage zeigt.

In ähnlicher Weise ist es möglich, in jedem Formalismus der Mechanik eine kontinuierliche Zeitsymmetrie mechanischer Gesetze mit der Energieerhaltung in Beziehung zu setzen. Unter der Annahme, dass Newtons Bewegungsgleichungen bekannter sind, kann ihre Verwendung zur Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Zeittranslationssymmetrie und Energieerhaltung etwas Licht auf eine allgemeinere Intuition werfen.

Wie beim Impuls oder Drehimpuls besteht der wesentliche Ausgangspunkt darin, die Elemente der Theorie, die die Zeitinvarianz verkörpern, richtig zu identifizieren. In der Newtonschen Beschreibung ist dies die Kraft. Eine zeitinvariante Kraft ist im Allgemeinen eine Funktion der Orte und Geschwindigkeiten. Sie kann nicht explizit von der Zeit abhängen. Wenn Kräfte konservativ sind, bedeutet dies, dass die potentielle Energie nicht explizit von der Zeit abhängt. Daher ist es trivial, durch zeitliches Differenzieren der Summe aus kinetischer und potentieller Energie zu überprüfen, ob die Gültigkeit der Newtonschen Bewegungsgleichungen der Energieerhaltung entspricht.