Energieerhaltung und Killing-field

Ein physikalisches System in GR ist im Allgemeinen niemals isoliert , da es mit der gekrümmten Metrik, dh dem Gravitationshintergrund, interagiert. (Im besonderen Fall einer asymptotisch flachen Raumzeit kann jedoch ein Begriff eines isolierten Systems gegeben werden, wie in der Antwort von auxsvr erörtert.)

Anscheinend verhindert diese Tatsache die Existenz von Erhaltungsgrößen , weil das "externe" System Beiträge zu jeder Größe liefern kann, die durch Integration der Komponenten des Spannungsenergietensors erhalten wird$T_{ab}$über jede Vorstellung von 3D-Ruheraum und dieser Beitrag kann sich im Laufe der Zeit ändern. Das formale Erhaltungsgesetz

Wenn es jedoch ein zeitähnliches Killing-Vektorfeld gibt $K$, ein Beobachter, der sich entlang der Tangentenlinien von entwickelt$K$betrachtet den Gravitationshintergrund als stationär (siehe unten).

Die jetzige$J_b := K^aT_{ab}$erweist sich im Hinblick auf die Killing-Gleichung für als richtig konserviert$K$und das formale Erhaltungsgesetz$\nabla^a T_{ab}=0$,

In Ruhe mit diesem 3D-Raum ist der Hintergrund stationär: Verwenden des Begriffs der Zeit$t$Parametrieren der Kurven tangential zu$K$als Zeitkoordinate zusammen mit anderen drei raumartigen Koordinaten an$\Sigma$, es stellt sich heraus, dass$\partial_t g_{ab}=0$. Das ist nichts anderes als die Killing-Gleichung, die in die besagten Koordinaten geschrieben ist.

Eine elementare Anwendung des Divergenzsatzes beweist, dass (1) impliziert

NACHTRAG . In Bezug auf die Kerr-Metrik gibt es ein interessantes Phänomen, das von Penrose entdeckt wurde und mit der Tatsache zusammenhängt, dass der externe zeitähnliche Killing-Vektor (derjenige, der sich der standardmäßigen Minkowski-Tötungszeit weit entfernt vom Schwarzen Loch nähert) innerhalb der Ergosphäre des Schwarzen Lochs raumartig wird.

Allgemein gesagt, wenn$K$ist zeitähnlich und Sie haben ein Teilchen mit vier Impulsen$p$Entwicklung entlang einer Geodäte,

die Energie des Teilchens,$E := -K^bp_b$, bezog sich auf den damit verbundenen Zeitbegriff$K$wird in der Zeit konserviert.

Wenn das Teilchen in zwei Teilchen zerbricht, führt das gleiche Erhaltungsgesetz zur Identität

Alles was ich geschrieben habe gilt auch wenn$K$ist in diesem Fall nicht zeitgemäß$-K^bp_b$ist erhalten, hat aber nicht die Bedeutung von Energie und sein Vorzeichen kann beliebig sein.

Angenommen, das ursprüngliche Teilchen bricht direkt in der Ergosphäre eines schwarzen Kerr-Lochs. Nehmen Sie an, dass das a-Teilchen in die Ergosphäre eindringt und aus einer Region kommt, die weit vom Schwarzen Loch entfernt ist (so dass$E>0$). Nehmen Sie auch diesen Teil an$1$bleibt in der Ergosphäre, während ein Teil$2$herauskommt und den anfänglichen asymptotischen Bereich erreicht.

In diesem Fall$E_1\geq 0$, weil die Geodäte dieses Teilchens wieder zukunftsorientiert ist$K$Ist. Das ist jetzt aber möglich$E_2<0$, Weil$K$in der Ergosphäre raumartig ist, selbst wenn$p_2$ist noch zeitgemäß und darin zukunftsgerichtet. Als$E= E_1+E_2$, das könnte passieren

Die Antwort von Valter Moretti ist sehr nett, und ich habe einiges gelernt, als ich sie gelesen habe. Diese Antwort soll eine Erklärung der Grundlagen dieses Themas auf niedrigerer Ebene sein und eine Behandlung im gleichen Stil geben, der zu finden ist, wenn die meisten GR-Texte dieses Thema einführen.

Definition eines Tötungsvektors

Ein Tötungsvektor$\xi$ist ein Vektorfeld, das eine Symmetrie einer Raumzeit beschreibt. Wenn wir jeden Punkt in der Raumzeit um einen infinitesimalen Betrag verschieben, wobei die Richtung und der Betrag durch den Killing-Vektor bestimmt werden, liefert die Metrik dieselben Ergebnisse. Ein Killing-Vektor kann als Lösung der Killing-Gleichung definiert werden,

dh die kovariante Ableitung ist bezüglich der beiden Indizes asymmetrisch.

Nun nehme das an$p$ist ein Tangentenvektor entlang einer Geodäte. Damit meinen wir, dass es die geodätische Gleichung erfüllt$p^a \nabla_a p^b = 0$. Diese Gleichung sagt nicht nur das aus$p$eine Geodäte tangiert, dh parallel zu sich selbst transportiert wird, aber auch entlang dieser Geodäte in affiner Weise parallel transportiert wird, so dass sie sich nicht "in der Länge ändert", während wir entlang gehen. Dies ist ein affiner Begriff von "sich nicht ändernde Länge", kein metrischer, also trifft er genauso gut zu, wenn$p$ist eher null als zeitähnlich. Für ein massives oder masseloses Teilchen, das sich träge bewegt, ist der Impuls in diesem Sinne ein Tangentenvektor an die Geodäte.

Die konservierte Menge, die einem Killing-Vektor zugeordnet ist

Satz: Unter den oben gegebenen Annahmen gilt$p_b \xi^b$ist eine Erhaltungsgröße entlang der Geodätischen. Das heißt, sie ist für ein Testteilchen konstant.

Beweis: Wir beweisen dies, indem wir das zeigen

Anwendung der Produktregel gibt

Der erste Term verschwindet durch die geodätische Gleichung und der zweite Term durch die Antisymmetrie, ausgedrückt durch die Killing-Gleichung, kombiniert mit der Symmetrie von$p^a p_b$.

Nichts davon ändert sich, wenn wir skalieren$p$durch irgendeinen Faktor. Im Fall eines massiven Partikels kann es bequemer sein, es zu lassen$p$sei der Impuls pro Masseneinheit, sodass alle Ausdrücke nur von der Geodätischen abhängen.

Nirgendwo in dieser Argumentation war es notwendig, Annahmen darüber zu treffen, ob$\xi$war zeitähnlich, null oder raumähnlich.

Einige Sonderfälle

Einige Spezialfälle sind von Interesse. Angenommen, die Metrik ist unabhängig von einer Koordinate$x^\mu$. Dann$\partial_\mu$ist ein Tötungsvektor, und$p_\mu$wird konserviert.

Eine Reihe weiterer Einschränkungen auf immer mehr Spezialfälle: ---

Wenn die Metrik unabhängig ist von$t$, Wo$t$ist eine zeitähnliche Koordinate, es ist$p_t$(eine Komponente des kovarianten Impulsvektors), der erhalten bleibt, aber normalerweise ist er es$p^t$die wir "die" Energie nennen.

Wenn die Metrik auch diagonal ist, ist es$g_{tt} p^t$das ist konserviert. Für die Schwarzschild-Metrik ist dies$(1-2M/r)E$, wobei E die Energie ist, die von einem statischen Beobachter gemessen wird, dh einem Beobachter, dessen Geschwindigkeitsvektor parallel zum Killing-Vektor ist. (Beachten Sie, dass diese Abfolge von Interpretationen nicht funktioniert, wenn der Killing-Vektor nicht zeitähnlich ist.)

Null- oder raumähnliche Tötungsvektoren: ein Beispiel

Um zu sehen, was wann passiert$\xi$nicht zeitabhängig ist, ist es hilfreich, sich den Spezialfall eines einfallenden Photons anzusehen$r=+\infty$in ein Schwarzschild-Schwarzes Loch. Dann in Schwarzschild-Koordinaten,$ds^2=0$gibt$dr/dt=\pm A$, Wo$A=1-2M/r=g_{tt}$.

Außerhalb des Horizonts,$dr/dt=-A$,$p^t$ist die Energie, die von einem statischen Beobachter gemessen wird, der darüber schwebt$r$, und die Erhaltungsgröße$p_t=p^tA$ist die rotverschobene Energie, die ein Beobachter im Unendlichen sieht.

Wenn das gleiche Teilchen in das Innere des Horizonts eindringt, hat seine Flugbahn nun$dr/dt=+A$, was immer noch negativ ist. Es gibt hier also keine statischen Beobachter$p^t$, was negativ ist, ist nicht die Energie, die von irgendeinem Beobachter gesehen wird.

Wenn die Metrik asymptotisch flach ist, ist es einfach, einer Größe eine Bedeutung zuzuweisen, sodass sie der Energie ähnelt, die wir aus der speziellen Relativitätstheorie kennen. Insbesondere für die Kerr-Metrik können wir in Betracht ziehen$(\partial_t)^a$als Vektor, der den stationären Beobachter im Unendlichen darstellt, wo die Raumzeit Minkowski ist und der Rest dem Beobachter als ein isoliertes System erscheint. Wenn die Definition eines Skalars so ist, dass er der Energie im asymptotischen Bereich entspricht, sagen wir$-p_a(\partial_t)^a$mit$p^a$den Impuls eines Testteilchens, dann können wir es als Energie in der gesamten Raumzeit betrachten.