Hätten wir in einem kugelförmigen Universum nicht ein zusätzliches Erhaltungsgesetz?

Laut dieser Antwort hat das jüngste WMAP-Experiment nur gezeigt, dass unser Universum, wenn es eine sphärische Geometrie hat, mindestens eine haben sollte 3 ⋅ 10 11 Lichtjahr großer Radius.

Betrachten Sie nun die Möglichkeit, wenn unser Universum eine 4-Kugel ist, also eine kleine, konstante positive Krümmung hat.

Das bedeutet, dass wir eine neue Symmetrie haben. Übersetzen eines beliebigen Punktes eines beliebigen Systems mit 2 π R , erhalten wir das gleiche System zurück. Beachten Sie, dass dies eine andere Sache ist als die Übersetzungssymmetrie des gemeinsamen Raums (die zur Impulserhaltung führt):

  1. es gilt nur für 2 π R Übersetzungen
  2. aber es gilt für jeden Punkt jedes Systems, nicht nur für das gesamte System.

Nach dem Satz von Noether hat jede differenzierbare Symmetrie einer Aktion ein entsprechendes Erhaltungsgesetz.

Welcher Erhaltungssatz würde dieser Symmetrie entsprechen?

Erweiterung/Korrektur:

So wie ich die Antwort von @conifold verstehe , handelt es sich um eine diskrete und nicht um eine kontinuierliche Symmetrie, da die Übersetzung hier nur mit möglich ist N ⋅ 2 π R ( N ∈ Z ) , also gilt der Satz von Noether hier nicht in seiner ursprünglichen Form. Aber nach dieser Frage ja, es gibt etwas Ähnliches wie Noethers Theorem auch auf diskreten Symmetrien. Auf die akzeptierte (und großzügige) Antwort : "Für unendliche Symmetrien wie Gitterübersetzungen ist die Erhaltungsgröße kontinuierlich, wenn auch periodisch." Wie gilt das in unserem Fall?

Wenn man bedenkt, dass man irgendetwas mit übersetzen kann 10 12 Lichtjahre ist unmöglich, dieses Erhaltungsgesetz hat wahrscheinlich keine praktische Bedeutung, aber es könnte immer noch existieren.
Dies wäre kein Beispiel für eine differenzierbare Symmetrie, daher wäre der Satz von Noether nicht anwendbar.
Kommentare zum Beitrag (v3): 1. Der Satz von Noether funktioniert nicht für diskrete Symmetrien, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. 2. Für kontinuierliche/Killing-Symmetrien siehe physical.stackexchange.com/q/317946/2451 (wobei die Schwarzschild-Metrik durch die FLRW-Metrik ersetzt wird).
@Qmechanic Die Ähnlichkeit ist mir nicht klar, außerdem kann ich die Antwort, das entsprechende Gesetz, nicht sehen.
@lemon Diese Symmetrie bildet die ab L ( Q , Q ˙ , T ) Zu L ( Q + ( 2 π R , 0 , 0 , . . . ) , Q ˙ , T ) . Es sieht für mich sehr differenzierbar aus.
Ich bin mir nicht sicher, ob meine Erweiterung aus meiner Frage nicht eine wesentlich neue macht. Wenn dies der Fall ist, bin ich bereit, die Erweiterung zurückzusetzen, eine Antwort zu akzeptieren und dies als neue Frage zu stellen.
Was Sie sich vorstellen, funktioniert für einen Zylinder oder einen Torus, aber dann ist die volle Rotation in eine kontinuierliche Familie von Rotationen eingebettet. Dasselbe gilt für die Kugel, wenn wir uns mit einer gewöhnlichen vollen Drehung zufrieden geben, ohne dass alle Punkte die Rotation durchlaufen müssen 2 π R Distanz. Für alle drei sind diese Rotationen Analoga von Translationen im euklidischen Raum und würden lokalen Beobachtern als solche erscheinen, sodass Sie nur die Erhaltung des Analogons des Impulses erhalten. Wenn Sie nur eine diskrete Untergruppe dieser Rotationen auswählen, erhalten Sie so etwas wie Gittersymmetrien.

Antworten (3)

Ihre "Übersetzung eines beliebigen Punktes eines beliebigen Systems mit 2πr" kann nicht für alle Punkte der Kugel gleichzeitig durchgeführt werden. Es handelt sich also nicht um eine Symmetrie im Sinne des Satzes von Noether. Ich vermute, es bezieht sich auf so etwas wie die vollständige Drehung einer 2-Kugel um eine Achse, und Sie können an diesem Beispiel bereits sehen, dass Sie eine solche Drehung nicht an allen Punkten gleichzeitig ausführen können. Manche bewegen den ganzen Kreis, andere weniger, manche gar nicht (Pole). Für die 3-Sphäre gibt es möglicherweise keine Pole, aber dann gibt es invariante Kreise, für die 4-Sphäre gibt es wieder Pole (dies folgt aus der Existenz von 1D- oder 2D-Invarianten-Unterräumen in der realen linearen Algebra).

Aber "die Form des Universums", die eine Kugel ist, bezieht sich auf eine Raumzeitscheibe, nicht auf die gesamte Raumzeit, also ist es eine 3-Kugel. Es wäre problematisch, wenn eine 4D-Raumzeit sphärisch wäre, selbst nach den Theorien der zyklischen Kosmologie. Sie untersuchen auch WMAP-Daten, um andere endliche 3D-Raumformen zu erkennen, die Quotienten der Sphäre durch endliche Gruppen, siehe The Poincaré Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations by Weeks .

Selbst wenn es global funktionieren würde, enthält die "Übersetzung um 2πr" keinen stetigen Parameter (r ist fest), so dass der Satz von Noether immer noch nicht gelten würde. Es gibt jedoch einen Schatten davon für diskrete Symmetrien, die konservierte topologische Ladungen beinhalten, die verschiedenen Prozessen Auswahlregeln auferlegen, siehe Gibt es etwas Ähnliches wie Noethers Theorem für diskrete Symmetrien?

4-Sphere bedeutet die Oberfläche einer 4D-Kugel. Wenn sein Radius groß genug ist (in unserem Fall zumindest 3 ⋅ 10 11 ly), dann ist es für uns gemäß der angegebenen Antwort in der Frage nicht von einer planaren globalen Geometrie zu unterscheiden. Dh unser 3D-Raum kann die Oberfläche einer 4D-Kugel sein. Es dreht sich alles um den raumartigen Teil. Ihr erster Satz ist mir unklar, warum sollte das ganze System übersetzbar sein? Ich denke, jeder Punkt eines beliebigen Systems wäre damit übersetzbar 2 π R in jede Richtung, würde es die gleiche Symmetrie mehrmals anwenden.
Hinweis: Auch die Raumspiegelsymmetrie hat keinen stetigen Parameter. Es bildet ab L ( Q , Q ˙ , T ) Zu L ( − Q , − Q ˙ , T ) . Der einzige Parameter, den ich hier sehen kann, ist − 1 .
Wie ich verstehen kann, schreibt der Satz von Noether die Differenzierbarkeit vor , dh die L ( Q , Q ˙ , T ) → L ' ( Q , Q ˙ , T ) soll eine differenzierbare Funktion sein. Es gibt nichts über kontinuierliche Parameter. Und diese Translationssymmetrie ist offensichtlich differenzierbar.
@peterh Die Standardterminologie besteht darin, die Dimension der Mannigfaltigkeit anzugeben, nicht die Grenze dessen, siehe n-sphere , also ist 4-sphere 4D. Die Symmetrie muss stetig sein, weil sonst Noethers Generatoren nicht einmal lokal definiert sind und die Differenzierbarkeit nur für einen stetigen Parameter sinnvoll ist, nicht diskret. Sie muss für die ganze Mannigfaltigkeit gelten, weil sie sonst nicht global definiert ist. Der klassische Satz von Noether gilt nicht für Spiegelsymmetrie.

Ich bin wirklich kein Experte dafür, aber mein oberflächlicher Eindruck ist, dass Erhaltungssätze lokalen (infinitesimalen) Symmetrien entsprechen , während Sie von einer (leicht zweifelhaften) globalen Symmetrie sprechen ? (Zweifelhaft insofern, als Sie eine vollkommen konstante Krümmung annehmen würden, was eine ziemlich unphysikalische Annahme zu sein scheint?)

Ich bin mir auch nicht sicher, ob es sich um eine differenzierbare Symmetrie handelt. Was macht eine Symmetrie differenzierbar? Das Übersetzen eines beliebigen Punktes eines beliebigen Systems mit einer beliebigen kleinen - differenzierbaren - Länge würde diese Symmetrie bewahren. Konstante Krümmung und sphärische Geometrie können das Ergebnis von Homogenität und Isotropie sein, was wir überall erleben. Vielleicht würde die Frage besser aussehen als "Welches zusätzliche Erhaltungsgesetz hätten wir in einem statischen 4-Sphären-Universum?"

Kurz gesagt, diese Symmetrie ist keine differenzierbare Symmetrie in dem Sinne, wie sie durch das Noether-Theorem beeinflusst würde.

Hätten wir in einem kugelförmigen Universum nicht ein zusätzliches Erhaltungsgesetz?
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