Welchem System sind diese Erhaltungsgrößen zugeordnet?

Question

Welchem System sind diese Erhaltungsgrößen zugeordnet?

Gold

Ich studiere Allgemeine Relativitätstheorie und bin etwas verwirrt über die Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungsgesetzen.

In der Tat beweisen wir in der Klassischen Mechanik anhand des Variationsprinzips, dass jede Symmetrie der Lagrangefunktion zu einem Erhaltungssatz führt. Dies ist der Satz von Noether und eigentlich eine Folgerung aus den Euler-Lagrange-Gleichungen.

Nun, in der Allgemeinen Relativitätstheorie habe ich das gelesen, wenn die Lie-Ableitung des metrischen Tensors in Bezug auf ein Vektorfeld ist $X$ verschwindet, dann hat der metrische Tensor eine Symmetrie unter der Transformation, die durch den Fluss des Vektorfelds erzeugt wird, und dies führt auch zu einer Symmetrie.

Zum Beispiel: in der Schwarzschild-Metrik

D S^{2} = (1 - \frac{2 G M}{R}) D T^{2} - (\frac{1}{1 - \frac{2 G M}{R}}) D R^{2} - R^{2} D θ^{2} - R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}

$ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dt^2-\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{2GM}{r}}\right)dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2$

das können wir leicht zeigen $\mathfrak{L}_{\frac{\partial}{\partial t}}g=0$ . Mit anderen Worten, die Metrik wäre unter Zeitumsetzungen unveränderlich. Es wird gesagt, dass dies zu einer Energieeinsparung führt. Dasselbe kann für die sphärische Symmetrie argumentiert werden.

Meine Frage hier ist: Es wird gesagt, dass der metrische Tensor unter einer bestimmten Transformation, die durch den Fluss eines Vektorfelds gegeben ist, invariant ist $X$ , das heißt, wenn die Lie-Ableitung $\mathfrak{L}_X g =0$ , dann gibt es ein Erhaltungsgesetz.

Aber für welches System gilt dieses Erhaltungsgesetz? Für welches System gilt die eingesparte Menge? Ich bin wirklich nicht hierher gekommen. So bleibt zum Beispiel in der Schwarzschild-Metrik Energie erhalten. Aber für welches System? Ich bekomme nicht heraus, für welches System das durch Symmetrie der Metrik abgeleitete Erhaltungsgesetz gilt.

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QMechaniker · Answer 1

Betrachten Sie eine willkürliche Materieaktion $S_m$ die unter allgemeinen Koordinatentransformationen als allgemein kovariant angenommen wird.
Definieren Sie den Hilbert -Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor
$\begin{matrix} (1) & T^{μ v} := \mp \frac{2}{\sqrt{| G |}} \frac{δ S_{M}}{δ G_{μ v}} \end{matrix}$ $T^{\mu\nu}~:=~\mp \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}\tag{1}$ in der Minkowski-Zeichenkonvention $(\pm,\mp,\mp,\mp)$ .
Diffeomorphismus-Invarianz führt (über Noethers 2. Theorem ) zu einer Off-Shell-Identität. Unter Verwendung der Materie-Gl. der Bewegung (eom)
$\begin{matrix} (2) & \frac{δ S_{M}}{δ ϕ} \overset{M}{\approx} 0, \end{matrix}$ $\frac{\delta S_m}{\delta \phi}~\stackrel{m}{\approx}~0,\tag{2}$ Noethers 2. Identität lautet $\begin{matrix} (3) & \nabla_{μ} T^{μ v} \overset{M}{\approx} 0 \end{matrix}$ $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0 \tag{3}$ für eine beliebige Metrik $g_{\mu\nu}$ . [Hier das $\stackrel{m}{\approx}$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo matter eom. Die Verbindung $\nabla$ ist die Levi-Civita-Verbindung.]
Nehmen Sie schließlich an, dass die Metrik $g_{\mu\nu}$ hat eine Killing-Symmetrie. Die 2. Identität des Noethers (3) zusammen mit einem Killing-Vektorfeld $K^{\mu}$ zu einer Identität führen
$\begin{matrix} (4) & \frac{1}{\sqrt{| G |}} D_{μ} (\sqrt{| G |} J^{μ}) = \nabla_{μ} J^{μ} \overset{M}{\approx} 0, \end{matrix}$ $\frac{1}{\sqrt{|g|}} d_{\mu}\left(\sqrt{|g|}J^{\mu} \right)~=~ \nabla_{\mu} J^{\mu}~\stackrel{m}{\approx}~0, \tag{4}$ Wo $\begin{matrix} (5) & J^{μ} := T^{μ v} K_{v} . \end{matrix}$ $J^{\mu}~:=~T^{\mu\nu} K_{\nu}.\tag{5}$
Es ist möglich, eine integrierte Erhaltungsgröße auf der Schale aus der Identität (4) auf dem Standardweg über einen 4-dimensionalen Divergenzsatz zu extrahieren , vgl. Titelfrage von OP.
Weitere Informationen finden Sie in meiner Phys.SE-Antwort hier und den darin enthaltenen Referenzen.

Oktonion · Answer 2

Betrachten Sie eine Geodäte mit Tangentenvektor $U^\mu$

U^{μ} \nabla_{μ} U^{v} = 0,

$U^\mu\nabla_\mu U^\nu=0,$ und die Metrik hat einen Killing-Vektor

\nabla_{(μ} X_{v)} = 0,

$\nabla_{(\mu} X_{\nu)}=0,$ dann die Menge

U^{ν} X_{ν}

$U^\nu X_\nu$ wird entlang der Geodäte konserviert.

U^{μ} \nabla_{μ} (U^{v} X_{v}) = U^{μ} U^{v} \nabla_{μ} X_{v} = 0.

$U^\mu\nabla_\mu (U^\nu X_\nu)=U^\mu U^\nu\nabla_\mu X_\nu =0.$ Die erste Gleichheit folgt aus der geodätischen Gleichung und die zweite aus der Killing-Gleichung.

Seit $m U$ ist der Viererimpuls eines Teilchens im freien Fall auf der Geodätischen, und $X$ eine spezielle Koordinate auswählt, ist dies so, als würde man sagen, dass die Komponente des Viererimpulses in dieser speziellen Koordinate erhalten bleibt.

Nehmen wir in ähnlicher Weise an, dass wir an Materie gekoppelt sind, sodass es einen konservierten symmetrischen Energie-Impuls-Tensor gibt $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.$ Dann der Strom $J^\nu\equiv X_\mu T^{\mu\nu}$ wird konserviert.

\nabla_{v} J^{v} = T^{μ v} \nabla_{v} X_{μ} = 0.

$\nabla_\nu J^\nu=T^{\mu\nu}\nabla_\nu X_\mu=0.$

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