Warum sind Killing Fields in der Physik relevant?

Killing Fields sind eines der wichtigsten Konzepte der Allgemeinen Relativitätstheorie, sowohl in ihrer klassischen als auch in ihrer Quantenversion.

Klassischerweise interessiert uns immer die Weltlinie/Trajektorie eines frei fallenden Beobachters in gekrümmten Raumzeiten. Diese Weltlinien werden als Geodäten bezeichnet und erfüllen die Gleichung

$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{ dx^\sigma }{ d\tau } = 0$$ wo $\tau$ist der affine Parameter entlang der Geodätischen.

Nun, wenn$\xi^\mu$ein Killing-Vektorfeld ist, dann lässt sich das leicht zeigen

$$Q_\xi = \xi_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ ist eine Konstante entlang der Geodätischen, dh $$\frac{d}{d\tau} Q_\xi = 0$$ Daher. Wir stellen fest, dass jedes Killing-Vektorfeld zu einer konservierten Größe entlang der Weltlinie eines frei fallenden Beobachters führt. Diese Tatsache kann dann zur Kennzeichnung von Geodäten verwendet werden. Dies ist nichts anderes als ein Beispiel für den Satz von Noether, der in GR zum Tragen kommt.

Zum Beispiel gibt es in stationären Raumzeiten einen Killing-Vektor, der global zeitähnlich ist (dies ist die Definition von stationären Raumzeiten).$k^\mu$. Dann können wir eine Erhaltungsgröße definieren

$$E = - k_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ Das ist einfach die Verallgemeinerung der Definition von Energie! ( Können Sie überprüfen, worauf sich dies für flache Raumzeiten reduziert? )

In Quantenfeldtheorien können Killing-Vektoren verwendet werden, um konservierte Ströme zu konstruieren (und daher auf die Existenz von Symmetrien und all dem damit einhergehenden Tamtam zu schließen). Beispielsweise hat jede lokale Quantenfeldtheorie einen Spannungstensoroperator$T_{\mu\nu}$das ist symmetrisch und erhalten. Killing-Vektorfelder verwenden$\xi^\mu$wir können erhaltene Ströme definieren

$$j^\nu = \xi_\mu T^{\mu\nu}$$ Dieser Strom erfüllt dann verschiedene Ward-Identitäten usw.

Fazit – Symmetrien bilden die Grundlage fast aller Physik, die heute betrieben wird. Tötende Vektorfelder sind einfach Manifestationen von Symmetrien im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Stellen Sie sich Wasser vor, das stetig in einem Bach fließt, stetig genug, dass die Wasseroberfläche niemals ihre Form ändert. Das Wasser bildet eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit$M$. Beobachten, wie sich das Wasser über einen Zeitraum von bewegt$t$Sekunden ergibt einen Diffeomorphismus$\phi^t \colon M \to M$. Wenn die Strömung eine Kieselalge den Bach hinunter trägt und Sie sie an der Stelle sehen$p$, das kennst du in$t$Sekunden wird es an der Stelle sein$\phi^t(p)$.

Das Wasser befindet sich im euklidischen Raum, sodass wir Winkel und Entfernungen im Wasser messen können. Mit anderen Worten,$M$hat eine Metrik$g$. Der Fluss des Stroms kann Winkel und Entfernungen ändern. Stellen Sie sich zur Veranschaulichung eine winzige Qualle vor , die den Bach hinunterschwimmt. Im Moment ist es an der Zeit$p$, und zwei seiner Tentakel ragen entlang der senkrechten Einheitsvektoren heraus$v, w \in T_p M$.

Nach$t$Sekunden werden die Quallen bei sein$\phi^t(p)$, und seine Tentakel werden entlang neuer Vektoren herausragen$\phi^t_*(v)$und$\phi^t_*(w)$. Hier,$\phi^t_*$bezeichnet den Pushforward , auch bekannt als die totale Ableitung , des Diffeomorphismus$\phi^t$. Die Vektoren$\phi^t_*(v)$und$\phi^t_*(w)$sind möglicherweise keine Einheitsvektoren mehr, und sie sind möglicherweise auch nicht mehr senkrecht.

Wie verändern sich die Winkel und Längen ihrer Tentakel, während die Qualle den Strom hinunter schwimmt? Die Lie-Ableitung der Metrik$g$wird es uns sagen.

Die Geschwindigkeit des Wassers an der Stelle$p$wird durch einen Tangentenvektor an beschrieben$M$bei$p$, also wird die Geschwindigkeit des Wassers überall durch ein Vektorfeld beschrieben$X$an$M$. Das Geschwindigkeitsfeld$X$ändert sich nicht mit der Zeit, weil das Wasser stetig fließt. Die Nummer

$$\mathcal{L}_X g(v, w)$$ ist definiert als die aktuelle Änderungsrate – d. h. die Ableitung zum Zeitpunkt Null – von $g(\phi^t_*(v), \phi^t_*(w))$. Allgemeiner, $\mathcal{L}_X g$beschreibt die Art und Weise, wie der Stromfluss Winkel und Entfernungen ändert.

Abschließend, was bedeutet es, wenn$\mathcal{L}_X g$ist null? Dies bedeutet, dass der Wasserfluss Winkel und Entfernungen überhaupt nicht ändert. Das Wasser bewegt sich auf völlig starre Weise: Es könnte genauso gut eine Eisplatte sein, die einen Hügel hinunterrutscht, anstatt ein Bach. In wenigen Sekunden befinden sich alle Kieselalgen und Quallen, die im Eis stecken, an verschiedenen Orten, aber die Winkel und Abstände zwischen ihnen ändern sich nicht. Die Kreaturen werden sogar in denselben Posen eingefroren; Die armen Quallen werden ihre Tentakel für immer im rechten Winkel herausragen lassen.

In der Physik der Strom$M$wird durch die Raumzeit ersetzt. Ein Vektorfeld$X$mit$\mathcal{L}_X g = 0$beschreibt eine völlig starre Bewegung der Raumzeit: einen Fluss, der die Raumzeitintervalle zwischen Ereignissen nicht verändert. Der Fachbegriff dafür ist eine Strömung durch Isometrien .

In der Minkowski-Raumzeit sind stetige Rotationen, stetige Boosts und stetige Verschiebungen in Raum und Zeit allesamt Flüsse durch Isometrien, daher sind die zugehörigen Vektorfelder alle Beispiele für Killing-Felder. Insbesondere wenn Sie nur durch den Raum schweben, ohne zu taumeln oder zu beschleunigen, ist der "Fluss der Zeit" aus Ihrer Sicht ein Fluss von Isometrien.

Nehmen wir als weiteres Beispiel an, Sie befinden sich in einer Umlaufbahn um einen Stern, sodass Ihre Welt durch eine Schwarzschild-Raumzeit gut beschrieben wird. Wenn Ihre Umlaufbahn kreisförmig ist, ist der "Fluss der Zeit" aus Ihrer Sicht wieder ein Fluss durch Isometrien. Ein Extremsport-Astronaut, der ein Lichtsegel benutzt, um über dem Stern zu schweben, ohne sich um ihn zu drehen, wird einen anderen „Zeitfluss“ sehen, und seiner ist auch ein Fluss durch Isometrien.

Im Allgemeinen beschreibt ein zeitähnliches Killing Field eine Sichtweise, aus der der „Fluss der Zeit“ völlig starr ist: Der Fluss der Zeit gleicht eher einem Zeitgletscher. Eine Raumzeit mit einem solchen Standpunkt wird als stationär bezeichnet. Aus den obigen Beispielen können wir sehen, dass die Minkowski-Raumzeit und die Schwarzschild-Raumzeit stationär sind. FLRW-Raumzeiten sind es jedoch nicht: Egal wie Sie es schneiden, ein FLRW-Universum expandiert oder kollabiert immer, sodass Sie keinen Blickwinkel finden können, von dem aus der Zeitfluss starr ist. Selbst auf der Erde bezweifle ich, dass die Raumzeit nahezu stationär ist: Wenn Sie jemals eine Sandburg gesehen haben, die von der steigenden Flut überschwemmt wurde, wissen Sie, dass die Schwerkraft des Mondes zu stark ist, um sie zu ignorieren, daher wird unsere lokale Raumzeit wahrscheinlich am besten von einigen beschrieben seltsame Drei-Körper-Raumzeit mit der Erde, dem Mond und der Sonne. Dieses Bild, wenn es zutreffend ist, rechtfertigt die Bilder des „Flusses der Zeit“, die von Dichtern seit jeher verwendet werden.

Killing Field Flows bewahren Formen und Größen. Das macht sie zu Generatoren infinitesimaler Isometrien. Diese Verbindung zur Symmetrie ist ein Grund für ihre Bedeutung.

Die Lie-Ableitung kann als der Effekt angesehen werden, durch den Fluss eines Vektorfelds gezogen zu werden. Zu diesem Zweck kann man sich eine Metrik als ein Feld von vorstellen$\epsilon$-bälle bzgl. dieser Metrik. Lügen Sie, indem Sie eine Metrik an einem Punkt ziehen$p$eine lange$v$entspricht der Verschiebung jedes Punktes innerhalb der$\epsilon$-Kugel zentriert auf$p$durch$v$. Die Lie-Ableitung entspricht dann der Verzerrung in Form und Größe der Kugel. Die Lie-Ableitung einer Metrik ist 0, wenn$\epsilon$-Bälle bleiben durch Ziehen erhalten. Das bedeutet, dass Killing Fields divergenzfrei sein müssen.

Stellen Sie sich einen Tropfen Tinte in einer fließenden komprimierbaren Flüssigkeit vor. Wenn der Tropfen seine Größe und Form beibehält, ist das Geschwindigkeitsfeld der Strömung ein Killing Field in der Nähe des Tintentropfens.

Dies ist eine Illustration aus Penroses Road to Reality :

Die Strömung eines Killing Fields kann den gesamten Verteiler ziehen. Da Killing Fields divergenzfrei sind und ihre Flüsse daher keine Quellen oder Senken haben, ergibt das Ziehen des gesamten Verteilers eine Bijektion zwischen den Start- und Endpunkten (ein Automorphismus). Da der Fluss die Metrik beibehält, ist die Bijektion eine Isometrie.

---

Der letzte Absatz ist mit Vorsicht zu genießen, siehe https://physics.stackexchange.com/questions/225636/killing-fields-and-symmetries

Ich denke, das Argument im letzten Absatz gilt nur für kompakte / geschlossene Verteiler.

Ein sehr einfaches und intuitives Bild kann durch die Definition der Lügenableitung im Buch von Wald (C.2.1) geformt werden.

$$\mathcal{L}_{v}T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}=\lim_{t\rightarrow0}\left(\frac{\phi_{-t}^{*}T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}-T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}}{t}\right)$$ wo $\phi_t$ist eine Gruppe von Diffeomorphismen mit einem Parameter, die durch das Vektorfeld erzeugt wird $v$( $t$ist der Parameter) und $\phi^*_{-t}$bezeichnet die Karte, die den Tensor entlang des Tangentenvektors trägt $v$Wenn $t\rightarrow 0$. Ohne kompliziert zu sein, sagt Ihnen die Lie-Ableitung, wie stark sich ein Tensor in Richtung von ändert $v$.

Nun, wenn sich die Metrik nicht entlang einer bestimmten Richtung ändert$X$in$p$(ein Punkt der Mannigfaltigkeit) dann$X$ist ein Killing-Vektor in$p$und es bedeutet physikalisch, dass sich die "Schwerkraft" nicht in diese Richtung ändert. Physikalisch formt ein Killing-Vektorfeld Kurven, in denen sich die "Schwerkraft" nicht ändert.

Ein Beispiel findet sich in statischen Lösungen der Einstein-Gleichungen (zB Schwarzschild). Diese Lösungen haben eine "Schwerkraft", die sich im Laufe der Zeit nicht ändert. Sie können also ein zeitähnliches Vektorfeld finden, das vom Killing-Typ ist (und$t$oben kann ein guter Parameter für Ihre Zeit sein).

Es gibt eine andere mathematische Art, seine Bedeutung zu sehen: Das Noether-Theorem. Sie können es in diesen Vorträgen von Van Holten und Rietdijk sehen http://arxiv.org/pdf/hep-th/9205074

Ist die Lie-Ableitung der Metrik in Bezug auf ein Vektorfeld$X$Null ist, dann ist die Metrik entlang ganzzahliger Kurven des Vektorfelds konstant.

Wenn Sie ein Killing-Vektorfeld erhalten, können Sie sich entlang jeder seiner integralen Kurven bewegen, ohne die Metrik zu ändern. Killing-Vektorfelder entsprechen daher Symmetrien der Metrik. Wenn eine gegebene Raumzeit Symmetrien aufweist, ist es oft bequem, diese Symmetrien in Form von Killing-Vektorfeldern zu beschreiben.

Das Töten von Vektorfeldern ist beispielsweise wesentlich, um zu definieren, was es bedeutet, dass eine Raumzeit zeittranslationsinvariant ist. Der formale Begriff für eine zeittranslationsinvariante Raumzeit ist stationär , und eine stationäre Raumzeit ist eine, die ein Killing Field hat, das überall zeitähnlich ist (diese Definition kann dahingehend erweitert werden, dass das Feld nicht überall zeitähnlich ist, aber wir werden dies nicht berücksichtigen Fall jetzt).

Mit anderen Worten, in einer stationären Raumzeit gibt es eine Reihe von Kurven, entlang denen die Metrik unverändert ist, und diese Kurven sind zeitähnlich. Dies entspricht der Idee der zeittranslationalen Invarianz – wir können uns entlang bestimmter zeitähnlicher Kurven bewegen, ohne die Raumzeit zu verändern.

Dies ist eine Antwort, die nur einige der mathematischen Aspekte der Frage anspricht, die Sie möglicherweise nützlich finden oder nicht.

Ein Vektorfeld$X$auf einem Verteiler$M$ist ein infinitesimaler Generator eines (aktiven) Diffeomorphismus$\phi: M \rightarrow M$; in der Differentialgeometrie wäre dies ein Abschnitt ihres Tangentenbündels$X \in \Gamma(TM)$.

Nun, ich vermute, dass die physikalische Relevanz folgende ist: Allgemeine Kovarianz ist der Vorschlag, dass physikalisch relevante Eigenschaften unter Diffeomorphismen unveränderlich sind; aber vermutlich zählen nicht alle Diffeomorphismen; wir würden es brauchen, um die metrische Struktur zu bewahren, dh es ist isometrisch.

Dann das$X$, ein Vektorfeld ist, das einen solchen isometrischen Diffeomorphismus erzeugt, wird verstanden, wenn es sich um ein Killing-Vektorfeld handelt, dh$L_X g=0$.