Eine Art Erhaltungsgleichung

Soweit ich weiß, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ein Ausdruck dieser Art$\nabla_{\mu} X^{\mu} = 0$besagt, dass im Zusammenhang mit$X^{\mu}$, gibt es eine Ladung, die erhalten bleibt. Das erste Beispiel, das mir in den Sinn kommt, ist die Erhaltung des Energie-Impulses$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0$, als Folge der kontrahierten Bianchi-Identitäten und unter der Annahme von Einsteins Feldgleichungen.

Meine Frage bezieht sich auf die Bedeutung des folgenden Ausdrucks:

Wo$R^{\mu\nu}$ist der kovariante Ricci-Tensor und$K_{\nu}$ist ein generisches Vektorfeld.

Bedeutet diese Gleichung etwas, so wie sie steht? Oder muss ich eine Metrik (und damit eine Form des Ricci-Tensors) auferlegen, um mehr Informationen zu finden?

Tatsache ist, dass ich nicht verstehe, welche Art von Erhaltungsgröße mit dem Vektor in Beziehung stehen könnte$R^{\mu\nu} K_{\nu}$.

Die Gleichung kommt von einer ziemlich eigentümlichen Methode, um eine modifizierte Gravitationstheorie zu erhalten. Die Referenz ist hier , aber die Originalquelle ist dort

Ich gebe zu, dass mir das Verfahren nicht ganz klar ist, aber im Grunde scheint es auf einen "Eichtheorie"-ähnlichen Ansatz zu verweisen, um modifizierte Gravitationsfeldgleichungen zu erhalten. Es ist etwas langwierig, aber letztendlich betrachten sie Kommutatoren von kovarianten Ableitungen aufeinanderfolgender Ordnungen, um relevante Größen wie den Riemann-Tensor (Kommutator erster Ordnung) und den Materiestrom (Kommutator zweiter Ordnung) zu erhalten. Für letzteres ist die Analogie zu Eichtheorien notwendig. Schließlich erhalten sie die modifizierten Gravitationsfeldgleichungen, Gl. (16) in der ersten Referenz.

Die Natur des Ansatzes macht es notwendig, ein Vektorfeld zu verwenden$K_{\nu}$um die Berechnungen fortzusetzen, aber der Charakter eines solchen Vektorfeldes wird nie spezifiziert (das ist eigentlich nicht nötig). Erst nach Gl. (16) kommentieren sie, dass Einsteins Fall wiederhergestellt ist, wenn$\nabla_{\mu}K_{\nu}=0$.

Zurück zu der Gleichung, die ich gepostet habe ... um einige Hinweise auf die Bedeutung des Ganzen zu erhalten, lege ich ab Gl. (16) in der Arbeit nur die Vakuumbedingung fest$T^{\mu\nu}=0$und schau was passiert:

$\left(\nabla_{\mu}R^{\mu\nu}\right) K_{\nu} + R^{\mu\nu} \left( \nabla_{\mu} K_{\nu} \right) = 0$

und das ist es.

Ich bin überhaupt nicht überzeugt von den Kommentaren, die sie über das Vektorfeld machen (sie nennen es "Substrat"), aber das Gesamtverfahren scheint nicht ganz schlecht zu sein.