Wie man den Riemann-Krümmungstensor aus dem Kommutator erhält, der auf einem Basisvektor arbeitet

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Basisvektoren veränderliche Funktionen der Position sind. Das bedeutet, dass, wenn ein Vektor unter dem Differenzierungsoperator erscheint, sowohl Komponenten als auch Basisvektoren im Allgemeinen gemäß der Produktregel differenziert werden. Ein Unterstrich zeigt an, dass ein bestimmter Term während der Differenzierung konstant gehalten werden soll.

Del, das auf einem Vektor operiert, wird geschrieben als

$$\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}.$$

Basis 1-Formen werden als kontravariante Basisvektoren behandelt. In einer Koordinatenbasis haben wir also

$$\mathfrak{e}^{\sigma}=dx^{\alpha}.$$

Del gefolgt von „Punktvektor“-Kontrakten auf dem Differenzierungsindex. Dies wird als Richtungsableitung bezeichnet.

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}=\frac{\partial\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}}{\partial x^{\omega}}w^{\omega}.$$

Insbesondere die partielle Ableitung bzgl. der

$$\nabla\left[\varphi\right]\cdot\mathfrak{e}_{\delta}=\partial_{\delta}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x^{\delta}}$$

$$\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\omega}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial x^{\omega}}.$$

Del mit vorangestelltem 'Vektorpunkt' zieht sich auf das Argument von del zurück.

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]$$

$$\vec{u}\cdot\nabla\left[\vec{v}\right]\cdot\vec{w}=\partial_{\sigma}\left[\underline{\mathfrak{e}_{\upsilon}u^{\upsilon}}\cdot\mathfrak{e}_{\nu}v^{\nu}\right]\mathfrak{e}^{\sigma}\cdot\mathfrak{e}_{\omega}w^{\omega}$$

Das Platzieren eines Balkens unter einem Index (oder in Mathjax einen Balken über dem Index) zeigt eine Komponente an, die in der Tangentialebene lebt. Also die$\beta$Der in der Mannigfaltigkeit lebende Basisvektor kann auf der Tangentenbasis als ausgedrückt werden

$$\mathfrak{e}_{\beta}=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}.$$

$$\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]=\partial_{\bar{\gamma}}\left[\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\partial_{\bar{\gamma}}\left[\frac{\partial x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\beta}}\right]\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

$$=\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}$$

So unorthodox das auch erscheinen mag, beachten Sie, dass es zur traditionellen Form des Verbindungskoeffizienten führt

$$\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\nabla\left[\mathfrak{e}_{\beta}\right]\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}=\mathfrak{e}^{\alpha}\cdot\mathfrak{e}_{\bar{\beta}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\mathfrak{e}^{\bar{\gamma}}\cdot\mathfrak{e}_{\gamma}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\bar{\gamma}}\partial x^{\beta}}\frac{\partial x^{\bar{\gamma}}}{\partial x^{\gamma}}$$

$$=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\bar{\beta}}}\frac{\partial^{2}x^{\bar{\beta}}}{\partial x^{\gamma}\partial x^{\beta}}=\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}.$$

Da ich eckige Klammern verwende, um Parameterlisten einzuschließen, verwende ich doppelte eckige Klammern$\left[\![\_,\_\right]\!]$um den Kommutator anzuzeigen. Wie oben angegeben, verwende ich die Punktproduktnotation austauschbar mit der Kontraktionsnotation.

Die obige Notation hat sich unter vielen Umständen als unschätzbar erwiesen. Es sollte funktionieren, um den Riemann-Krümmungstensor beginnend mit der MTW-Gleichung 8.44 zu erzeugen. Leider habe ich keinen Weg gefunden, den am weitesten rechts stehenden Begriff in der Form, zu der ich komme, in die Begriffe zu übersetzen, die Produkte von Christoffel-Symbolen betreffen.

Sieht jemand eine Möglichkeit, dies zum Laufen zu bringen? Die erste Zeile im folgenden Screenshot ist ein Schuss ins Blaue.

Dies ist eine konventionellere Herleitung basierend auf MTW-Aufgabe 11.3 (die die Lösung enthält).