Satz von Poincare-Bendixson unter Zeitumkehr

Kurz gesagt: ja! :) Ich habe das schon einmal erfolgreich gemacht.

Warum funktioniert es?

Das autonome dynamische System ist definiert als:$\dot{\bf{x}}=\bf{f}(\bf{x})$, mit$\bf{x}$ $=(x,y)$Und$\bf{f}$ $=(f_1,f_2)$.

So ist die Strömung im Phasenraum$f_1(\bf{x})$in "x"-Richtung und$f_2(\bf{x})$in "y"-Richtung.

Umkehrzeit ($t \rightarrow -t$) in einer autonomen ODE erster Ordnung ergibt:

$-dx/dt=f(x)$

$\Leftrightarrow dx/dt=-f(x)$

Dadurch wird die Richtung des Phasenflusses in ihr Gegenteil gedreht.

Im einfachsten Fall eines anziehenden Fixpunkts stößt er also Trajektorien unter Zeitumkehr ab.

Im Fall eines Grenzzyklus verwenden wir die Ansicht der Floquet-Theorie und trennen die Komponenten der Phasenströmung in periodische Bewegung auf dem Grenzzyklus mit der Periode T$x(t)=x(t+T)$(Goldstone-Modus) und seine davon weg weisenden orthogonalen Abweichungen$\Delta x(t)=x(t)-x_0$($x_0$ist ein Referenzpunkt auf dem Grenzzyklus). Im Fall eines anziehenden Grenzzyklus ist$\Delta x(t)$nimmt in jeder Iteration ab. Wenn wir die Zeit umkehren, dreht sich das Phasenströmungsfeld um, sodass die Trajektorien vom Grenzzyklus weggeschoben werden.

Hier sind die beiden Versionen der Phasenebenendynamik des Selkov-Modells (wenn Sie Kapitel 7 im Strogatz-Buch lesen, sind Sie damit vertraut). Im linken Bild existiert ein instabiler Grenzkreis und in dessen Mitte finden wir - wie zu erwarten - einen stabilen Fixpunkt. In der richtigen Version wird die Zeit umgekehrt und wir finden den stabilen Grenzzyklus, dessen Existenz wir durch Konstruktion einer "Einfangregion" für Poincare-Bendixson beweisen können, wie es Strogatz in Beispiel 7.3.2 getan hat.

Blaue und gelbe Linien sind die Nulllinien (die ihre Position bei Zeitumkehr nicht ändern). Die orange gestrichelte Linie zeigt eine Trajektorie, die in beiden Versionen vom selben Punkt ausgeht, um die Phasenraumströmung zu veranschaulichen.