Lösung der Differentialgleichung eines Pendels mit einem Block (Luftwiderstand)

Question

Lösung der Differentialgleichung eines Pendels mit einem Block (Luftwiderstand)

ziehen
Physik
Oszillatoren
nichtlineare Systeme
klassische Mechanik
Differentialgleichung

JuliusPhysik

Die Differentialgleichung für ein Pendel mit Luftwiderstand lautet

\ddot{j} + (B / M) {\dot{j}}^{2} + \frac{D}{M} j = 0

$\ddot{y} + (b/m) \dot{y}^2+\frac{D}{m}y = 0$

Was ist eine Lösung der Differentialgleichung? Ich hatte Probleme, es zu lösen.

G. Smith

Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass eine Differentialgleichung analytisch lösbar ist. Ich weiß nicht genau, ob dies nicht der Fall sein kann, aber ich bezweifle, dass dies der Fall ist. Mit linearer statt quadratischer Dämpfung ist das definitiv möglich.

bolbteppa

Vielleicht ist die (zweite) Methode hier anwendbar

Richard Weißhill

Bisher gibt es keine Lösungen in geschlossener Form für diese nichtlineare Differentialgleichung. Die meisten Lehrbücher gehen von einem linearen Widerstand aus, um dieses Problem zu vermeiden, und präsentieren eine analytische Lösung in geschlossener Form. Wie unten erwähnt, können Sie dies jedoch in jede Software stecken und eine numerische Lösung erhalten. Wenn Sie die Gleichung ein wenig massieren, sollten Sie jedoch ein wenig Intuition für das betreffende System gewinnen.

Joako

Ich bin mir da nicht sicher, aber vielleicht könnte dieses Papier helfen Finite Time Differential Equations (VT Haimo - 1985)

Antworten (2)

Lösung der Differentialgleichung eines Pendels mit einem Block (Luftwiderstand)

Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass eine Differentialgleichung analytisch lösbar ist. Ich weiß nicht genau, ob dies nicht der Fall sein kann, aber ich bezweifle, dass dies der Fall ist. Mit linearer statt quadratischer Dämpfung ist das definitiv möglich.
Bisher gibt es keine Lösungen in geschlossener Form für diese nichtlineare Differentialgleichung. Die meisten Lehrbücher gehen von einem linearen Widerstand aus, um dieses Problem zu vermeiden, und präsentieren eine analytische Lösung in geschlossener Form. Wie unten erwähnt, können Sie dies jedoch in jede Software stecken und eine numerische Lösung erhalten. Wenn Sie die Gleichung ein wenig massieren, sollten Sie jedoch ein wenig Intuition für das betreffende System gewinnen.
Ich bin mir da nicht sicher, aber vielleicht könnte dieses Papier helfen Finite Time Differential Equations (VT Haimo - 1985)

Philipp · Answer 1

Es gibt (soweit ich weiß) keine Lösungen in geschlossener Form, und schon gar keine, die einfach sind, zu dieser Differentialgleichung. Wie @G.Smith betont, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass jede Differentialgleichung eine Lösung in geschlossener Form hat, und schon gar nicht eine nichtlineare Gleichung wie diese.

Sie können eine Lösung mit so etwas wie WolframAlpha erhalten oder sie numerisch integrieren.

Wie @bolbteppa im obigen Kommentar erwähnt hat, gibt es einen Weg, um dorthin zu gelangen $y'(t)$ als Funktion von $y(t)$ . Wenn Sie daran interessiert sind, können Sie es definieren $v = y'$ und schreibe deine Gleichung um als

v \frac{D v}{D j} + \frac{B}{M} v^{2} + \frac{D}{M} j = 0 ⟹ \frac{1}{2} \frac{D}{D j} (v^{2}) + \frac{B}{M} v^{2} = - \frac{D}{M} j,

$v \frac{\text{d}v}{\text{d}y} + \frac{b}{m}v^2 + \frac{D}{m}y =0 \quad \implies \quad \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}y} (v^2) + \frac{b}{m} v^2 = - \frac{D}{m} y,$ das ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung in

v^{2} (y)

$v^2(y)$ , und kann daher sehr einfach mit Standardmethoden gelöst werden. Das gibt dir

v

$v$ als Funktion von

y

$y$ , kann aber leider nicht einfach integriert werden, um beides in Bezug auf zu geben

t

$t$ !

JEB · Answer 2

Um den quadratisch gedämpften harmonischen Oszillator zu lösen, benötigen Sie zwei Gleichungen:

\ddot{j} + \frac{B}{M} {\dot{j}}^{2} + \frac{D}{M} = 0 \dot{j} < 0

$\ddot y + \frac b m \dot y^2 + \frac D m = 0\ \ \ \ \dot y < 0$

\ddot{j} - \frac{B}{M} {\dot{j}}^{2} + \frac{D}{M} = 0 \dot{j} > 0

$\ddot y - \frac b m \dot y^2 + \frac D m = 0\ \ \ \ \dot y > 0$

so dass die Dämpfungskraft immer der Geschwindigkeit entgegenwirkt.

Eine Standard-Brute-Force-Methode ist die Verwendung einer Potenzreihe:

j (T) = \sum_{N = 0}^{\infty} A_{N} T^{N}

$y(t) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n$

\dot{j} (T) = \sum_{N = 1}^{\infty} N A_{N} T^{N - 1} = \sum_{N = 0}^{\infty} (N + 1) A_{N + 1} T^{N}

$\dot y(t) = \sum_{n=1}^{\infty}na_nt^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}t^n$

\ddot{j} (T) = \sum_{N = 2}^{\infty} N (N - 1) A_{N} T^{N - 2} = \sum_{N = 0}^{\infty} (N + 2) (N + 1) A_{N + 2} T^{N}

$\ddot y(t) = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nt^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^n$

Das kannst du also versuchen.

Eine clevere oder neuartige Methode ist publikationswürdig, z. B.:

Guter Punkt, mit der $\text{sign}(y)$ Term wäre diese Gleichung noch schwieriger zu lösen. Wäre die Potenzreihenmethode nicht wirklich mühsam? Angesichts dessen, dass Sie die Reihe quadrieren müssten $\dot{y}$ ?

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JuliusPhysik

G. Smith

bolbteppa

Richard Weißhill

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Philipp

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