Wie groß ist die Amplitude des Grenzzyklus des Van-der-Pol-Oszillators?

Ich bin also keineswegs ein Experte für Grenzzyklen, aber ich bin fasziniert von diesem Problem, also habe ich mir Folgendes ausgedacht.

Lassen Sie uns den nichtlinearen Term perturbativ behandeln. Dies wird nicht ausreichen, um die Existenz des Grenzzyklus für große Werte von zu beweisen$\mu$, aber da es anscheinend einen Beweis dafür gibt, dass dies perturbativ funktioniert, wird es uns genügen.

Nehmen wir einen Ansatz

$$\begin{equation} x(t)=\bar{x}(t)+\mu \delta(t) \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} \bar{x}(t)=a\cos(\omega_0 t) \end{equation}$$ Hier $\mu\delta(t)$ist eine kleine Störung. Nur um das klarzustellen, ich denke an $\mu$als kleiner Parameter, $\delta$ist keine kleine Funktion. Ich gehe davon aus, dass die Störung wie skaliert wird $\mu$(im Gegensatz zu $\mu^2$oder $\mu^3$), wird dies später begründet. (ok, ich begründe es später nicht explizit. Der Punkt ist, dass die $O(\mu)$Gleichung unten hätte keine nützlichen Informationen geliefert, wenn diese Skalierung falsch gewesen wäre).

Übrigens, wenn wir die Form des Grenzzyklus für groß berechnen könnten$\mu$Wir könnten die Analyse verallgemeinern, indem wir machen$\bar{x}$dem Grenzzyklus entspricht und dann alle folgenden Schritte durchläuft. Der Punkt des Kleinen$\mu$Annäherung ist, dass der Grenzzyklus in dieser Grenze ungefähr der harmonische Oszillatorpfad sein muss. Ich weiß nicht viel über dieses Zeug, aber ich wäre nicht überrascht, wenn es eine Möglichkeit gäbe, die Grenzzykluskurve zu berechnen.

Was wir erwarten, ist ein besonderer Wert von$a$so dass dieser Ansatz stabil ist (d.h. dass$\delta$explodiert nicht). Numerisch haben Sie herausgefunden, dass dieser Wert ist$a=2x_0$, würden wir gerne sehen, ob wir dies auch peturbativ sehen können.

Also erweitern wir die Gleichung. Bei$O(\mu^0)$, finden wir natürlich die harmonische Oszillatorgleichung.

Bei$O(\mu)$Wir erhalten eine Gleichung für$\delta$:

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = (x_0^2 -\bar{x}^2)\dot{\bar{x}} \end{equation}$$

Nach Anmeldung im Formular für$\bar{x}$und unter Verwendung einiger trigonometrischer Identitäten, die wir finden

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = a \omega_0 x_0^2 \sin(3\omega_0 t) + a\omega_0 (a^2-4x_0^2) \cos^2 \omega_0 t \sin \omega_0 t \end{equation}$$

Dies ist ein erzwungener harmonischer Oszillator: Die rechte Seite hat zwei erzwingende Terme. Schauen wir uns den zweiten an:

$$\begin{equation} \cos^2(\omega_0 t)\sin(\omega_0 t) = \sin(\omega_0 t) - \sin^3(\omega_0 t) = \frac{1}{4}\sin(\omega_0 t) + \frac{1}{4} \sin(3 \omega_0 t) \end{equation}$$

Hier gibt es mehrere Begriffe, aber das Problem ist, dass es einen Begriff mit Häufigkeit gibt$\omega_0$. Dies treibt den Oszillator mit seiner Resonanzfrequenz an und erzeugt eine Instabilität.

Die Schwankungen sind also instabil, solange dieser zweite Term vorhanden ist.

Aber genau wann$a=2x_0$, der gefährliche resonante Treiberterm verschwindet und die Schwankungen sind stabil.

Voila.