Wie führen nichtlineare Gleichungen zu Selbstwechselwirkung?

In meinem Leben höre/lese ich diese Aussage oft:

Eine nichtlineare Gleichung oder Theorie führt zu Selbstwechselwirkungen.

Zum Beispiel sagen wir in GR , dass die Schwerkraft mit sich selbst interagieren kann, weil sie nicht linear ist. Aus irgendeinem Grund bin ich immer davon ausgegangen, dass es richtig war. Aber jetzt, wo ich darüber nachdenke, kann ich in der Mathematik keinen klaren Grund dafür erkennen, warum diese Aussage gilt. Kann mir jemand weiterhelfen? :D

Bearbeiten 1 : Wie Vadim betonte. Die Aussage sollte umgekehrt sein.

Ein selbstwechselwirkendes physikalisches System führt zu nichtlinearen Gleichungen.

Bearbeiten 2 : Die Fragen werden von @gandalf61 für ein 2-Variablen-System wunderbar beantwortet. Verstehe jedoch immer noch nicht wirklich, was für ein 1-Variablen-System vor sich geht, z. B. in der allgemeinen Relativitätstheorie. Könnte da vielleicht auch jemand ein Beispiel geben? Vielen Dank im Voraus. :D

In den Kommentaren zur Antwort von @gandalf61 finden Sie auch die Antwort von edit 2 .

Es bedeutet, dass zwei Lösungen einer linearen Gleichung ohne Quellen voneinander „nichts wissen“: Ihre Summe ist ebenfalls eine Lösung. Während für nichtlineare Gleichungen die Summe zweier Lösungen keine Lösung ist (allgemein).
Genau genommen ist es umgekehrt: Selbstwechselwirkungen führen zu nichtlinearen Gleichungen . (Selbst-)Interaktionen sind objektive Realität, die unabhängig davon existiert, ob die Menschen eine Gleichung zu ihrer Beschreibung geschrieben haben oder ob Menschen überhaupt existieren.
@drandran12 Wenn sich die Lösung für eine Sache und eine andere Sache zusammen von der Lösung für eine Sache in Kombination mit der Lösung für eine andere Sache unterscheidet, passiert eindeutig etwas Besonderes, wenn beide gleichzeitig da sind!
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Antworten (2)

Wenn ich in ein Geschäft gehe und kaufe 5 Äpfel u 10 Bananen, dann kann ich normalerweise den Preis eines Apfels nehmen A und der Preis einer Banane B und addieren Sie diese zusammen, um die Gesamtkosten von zu erhalten 5 A + 10 B . Und ich bezahle den gleichen Gesamtbetrag, wenn ich gleichzeitig Äpfel und Bananen kaufe oder ich kaufe Äpfel, gehe später wieder in den Laden und kaufe Bananen - meine Einkäufe interagieren nicht miteinander. Dies ist ein lineares System.

Aber wenn es ein Angebot von " 5 Äpfel zum Preis von 3 “ oder „eine kostenlose Banane zu jedem 5 Äpfel" oder " 10 % aus, wenn Sie mehr als ausgeben $ 5 “ dann die Kosten für 5 Äpfel u 10 Bananen werden nicht mehr sein 5 A + 10 B . Dies ist ein nichtlineares System, und es gibt eine Wechselwirkung zwischen meinen verschiedenen Einkäufen.

Mit anderen Worten, das Prinzip der Superposition (was eine ausgefallene Art ist, „Linearität“ zu sagen) bedeutet, dass Sie das „Ergebnis“ der „Kombination“ zweier Szenarien in ihre jeweiligen, nicht interagierenden Ergebnisse zerlegen können: F ( A + B ) = F ( A ) + F ( B ) . Jede Selbstinteraktion manifestiert sich als Nichtlinearität, die eine solche Zerlegung verhindern würde.
Später, als ich mehr darüber nachdachte, war ich immer noch ein wenig verwirrt. Was ist, wenn wir ein nichtlineares System haben, das dieselbe Variable hat? Dann ist die Analogie unsinnig. Kannst du das vielleicht näher erläutern?
@drandran12 Ein Beispiel für ein nichtlineares System mit einer einzigen Variablen wäre „ 10 % ab, wenn du zehn oder mehr Bananen kaufst“. Sie zahlen weniger, wenn Sie zehn Bananen auf einmal kaufen, als wenn Sie heute fünf Bananen und morgen fünf Bananen kaufen.

Im Kontext einer herkömmlichen Lagrange-Formulierung lauten die Hauptpunkte wie folgt:

  • Lineare EOMs haben eine quadratische Lagrange-Funktion.

  • N gekoppelte lineare EOMs können diagonalisiert werden N entkoppelte lineare EOMs in je 1 Variable.

  • Nichtlineare EOMs haben einen Lagrange-Operator, der kubische oder Terme höherer Ordnung hat, auch bekannt als. Wechselwirkungsterme, die Scheitelpunkten in Feynman-Diagrammen entsprechen.

  • Wenn ein Interaktionsterm nur von 1 Variable abhängt, spricht man von einer Selbstinteraktion.

  • Die perturbative Lösung der EOMs kann als gerichteter Wurzelbaum dargestellt werden, wobei Verzweigungspunkte/Eckpunkte Wechselwirkungen sind, vgl. zB Gl. (6) in meiner Phys.SE-Antwort hier .

  • Für lineare EOMs hat der Baum keine Verzweigungspunkte/Eckpunkte/Wechselwirkungen.

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