Wie findet man die Periode kleiner Schwingungen um diese Kreisbewegung?

Question

Wie findet man die Periode kleiner Schwingungen um diese Kreisbewegung?

Furchtlose Jungfrau

Dies ist die Frage aus Goldsteins Classical Mechanics, 2. Auflage. Kapitel 3 Aufgabe 1.

Ein Massenteilchen $m$ ist gezwungen, sich unter der Schwerkraft reibungsfrei auf der Innenseite eines Rotationsparaboloids mit vertikaler Achse zu bewegen. Finden Sie das eindimensionale Problem, das seiner Bewegung entspricht. Was ist die Bedingung für die Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens, um eine Kreisbewegung zu erzeugen? Finden Sie die Periode kleiner Schwingungen um diese Kreisbewegung herum.

Die Bewegungsgleichung ergibt sich zu

M \ddot{R} + 4 M C^{2} R^{2} \ddot{R} + 4 M C^{2} R {\dot{R}}^{2} - M R {\dot{θ}}^{2} + 2 M G C R = 0

$m\ddot{r}+4mc^2r^2\ddot{r}+4mc^2r{\dot{r}}^2-mr{\dot{\theta}}^2+2mgcr=0$

Die Bedingung für eine kreisförmige Umlaufbahn lautet wie folgt:

\dot{θ} = \sqrt{2 G C}

$\dot{\theta}=\sqrt{2gc}$ auf Substitution

\dot{θ}

$\dot{\theta}$ in EOM bekommen wir,

(1 + 4 M C^{2} R^{2}) \ddot{R} + 4 M C^{2} R {\dot{R}}^{2} = 0

$(1+4mc^2r^2)\ddot{r}+4mc^2r\dot{r}^2=0$

Ich glaube nicht, dass das Teilchen eine harmonische Bewegung in radialer Koordinate ausführt $r$ , denn der erste Term besteht aus $\ddot{r}$ und zweite Amtszeit besteht aus $r\dot{r}^2$ (nicht einfach $r$ ), also glaube ich nicht, dass ich diesen Ausdruck auf eine einfache harmonische Schwingungsform reduzieren kann und das Teilchen keine harmonische Schwingung in radialer Richtung ausführen kann? Habe ich recht?

Höhlenmensch

Schreiben Sie die Lagrange-Funktion und isolieren Sie den Term, der nicht die kinetische Energie ist, was erhalten Sie?

Antworten (2)

Wie findet man die Periode kleiner Schwingungen um diese Kreisbewegung?

Schreiben Sie die Lagrange-Funktion und isolieren Sie den Term, der nicht die kinetische Energie ist, was erhalten Sie?

WilhelmM · Answer 1

Dies ist eine Übersicht darüber, was ich tun würde.

Schreiben Sie die Lagrangedichte eines Teilchens unter dem Gravitationspotential in Zylinderkoordinaten auf. Verwenden Sie die Paraboloidgleichung $z = r^2 c$ um es auf der Oberfläche des Paraboloids einzuschränken.
Finden Sie den EOM für $r$ Und $\theta$ . Wenn du sie einsetzt $r = R_0$ , Wo $R_0$ eine Konstante ist, finden Sie die Bedingung für eine Kreisbewegung. Es wird sein $\sqrt{2gc}$ und die Geschwindigkeit ist somit $\vec{v}=R_0 \hat{\theta} \sqrt{2gc}$ .
Beachten Sie, dass das System rotationssymmetrisch ist und daher der Drehimpuls erhalten bleibt. Verwenden Sie dies, um zu beseitigen $\dot{\theta}$ im EOM für $r$ und Sie erhalten den EOM für das 1D-äquivalente Problem.
Führen Sie eine Legendre-Transformation durch, um den Hamiltonian zu finden. Alle Terme, die den Radialimpuls nicht beinhalten $p_r = m \dot{r}$ wird Ihr effektives Potenzial sein.
Finden Sie das Minimum des effektiven Potentials (leiten Sie es ab und setzen Sie es mit 0 gleich). Dann erweitert Taylor es um dieses Minimum herum. Der erste Term ist eine irrelevante Konstante, der zweite ist Null (da Sie um ein Minimum expandieren) und der dritte hat die Form $8mgc(r-R_0)^2$ . Aus dem Koeffizienten $8mgc$ Sie können die Periode erhalten.

Wenn $c$ hat Einheiten von $L^{-1}$ , dann sind nicht die Einheiten von $\sqrt{2gc}$ gleich $\sqrt{ [L/T^2] [L]^{-1}} = [T]^{-1}$ wie gewünscht?

Michael Seifert · Answer 2

Sie haben die Tatsache vergessen, dass die $\theta$ Die Bewegung ist nicht mehr gleichmäßig, sobald sich das Teilchen nicht mehr in Kreisbewegung befindet: Der Drehimpuls bleibt in dieser Situation erhalten, was impliziert, dass wenn $r$ ändert sich dann $\dot{\theta}$ muss sich auch ändern. Sie müssen also nach einer Lösung der Gleichungen suchen, die diese beiden Störungen berücksichtigt.

Wenn wir die vollständigen Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen für diese Situation aufschreiben, werden die $r$ Gleichung ist, wie Sie oben gefunden haben, während die $\theta$ Gleichung ist

\frac{D}{D T} (M R^{2} \dot{θ}) = 0 \Rightarrow \dot{θ} = \frac{L_{z}}{M R^{2}},

$\frac{d}{dt} \left( m r^2 \dot{\theta} \right) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \dot{\theta} = \frac{L_z}{m r^2},$ Wo

L_{z}

$L_z$ ist eine Konstante der Bewegung. Dies gibt uns eine Beziehung zwischen

r

$r$ Und

\dot{θ}

$\dot{\theta}$ für jede Art von Bewegung, kreisförmig oder nicht. Wir können diese Beziehung verwenden, um zu eliminieren

\dot{θ}

$\dot{\theta}$ von dem

r

$r$ Gleichung, erhalten

M \ddot{R} + 4 M C^{2} R^{2} \ddot{R} + 4 M C^{2} R {\dot{R}}^{2} - \frac{L_{z}^{2}}{M R^{3}} + 2 M G C R = 0

$m\ddot{r}+4mc^2r^2\ddot{r}+4mc^2r{\dot{r}}^2-\frac{L_z^2}{m r^3}+2mgcr=0$ Dies ist nun ein effektives eindimensionales Problem. Um eine kreisförmige Bewegung zu finden, können Sie einen Ansatz der Form versuchen

r (t) = r_{0}

$r(t) = r_0$ und finde heraus was

L_{z}

$L_z$ (und dadurch

v

$v$ ) muss sein, damit dies geschieht. Sie können dann nach Lösungen des Formulars suchen

r (t) = r_{0} + ϵ (t)

$r(t) = r_0 + \epsilon(t)$ , wobei alle Terme verworfen werden, die vorhanden sind

O (ϵ^{2})

$\mathcal{O}(\epsilon^2)$ und höher, um zu sehen, ob harmonische Schwingungen möglich sind. (Spoiler-Alarm: Sie sind.)

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Furchtlose Jungfrau

Höhlenmensch

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WilhelmM

Michael Seifert

WilhelmM

Michael Seifert

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