Die rrr-Komponente der Gesamtkraft eines einfachen Pendels

Die Spannung stimmt nicht mit der radialen Komponente des Gewichts überein, außer am höchsten Punkt des Schwungs.

Wenn Sie in Polarkoordinaten arbeiten möchten, dann

$$\vec F=m\vec a\Rightarrow -T\hat r+mg\cos\theta\hat r-mg\sin\theta\hat\theta=m(\ddot r-r\dot\theta^2)\hat r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta )\hat\theta.$$

Wenn sich die Länge des Pendels dann nicht ändert$\dot r =0 =\ddot r$und deshalb

$$-T\hat r+mg\cos\theta\hat r-mg\sin\theta\hat\theta= -m r\dot\theta^2\hat r+ mr\ddot\theta\hat\theta.$$

Die Differenz zwischen der Spannung und der radialen Gewichtskomponente ist nur die Zentripetalkraft$mr\dot\theta^2$. Beachten Sie, dass, wenn sich diese Radialkräfte gegenseitig aufheben, die Winkelgeschwindigkeit und damit die Geschwindigkeit$v=r\dot\theta$verschwindet. Es kann nur der höchste Punkt der Schaukel passieren.

Damit der Bob eine pendelähnliche Bewegung ausführt, das heißt eine kreisförmige Bewegung um den Kontaktpunkt der Schnur mit der Decke, muss auf ihn eine radiale Nettokraft ungleich Null wirken, die die notwendige Zentripetalkraft liefert. Wird diese Radialkraft auf Null gebracht, bewegt sich die Masse geradlinig. Am 'Rand' der Schaukel ist sie für kurze Zeit Null, ihre Winkelgeschwindigkeit verschwindet hier, aber die Kreisbewegung bleibt wegen der Rückstellkraft erhalten$-mg \sin \theta \hat \theta$.

Die am Bob geleistete Arbeit wird durch angegeben$W = \int \mathbf F \cdot \mathbf{dr}$, Wo$\mathbf F = F_r \hat r + F_{\theta} \hat \theta$und gleich$(-T + mg \cos \theta) \hat r - mg \sin \theta \hat \theta$, wie du geschrieben hast. Für eine allgemeine kreisförmige Bewegung kann das infinitesimale Linienelement, entlang dem sich der Bob bewegt, in Polarkoordinaten ausgedrückt werden als$\mathbf{dr} = \ell d \theta \hat \theta$, Wo$\ell$ist die Länge der Zeichenfolge. Die Radialkraft leistet also keine Arbeit und die Berechnung der Arbeit reduziert sich auf

$$W = \ell \int_{\theta_0}^{\theta} F_{\theta'}\, d \theta' = -mg \ell \int_{\theta_0}^{\theta} \sin \theta' \, d\theta' = mg \ell (\cos \theta - \cos \theta_0)$$ Diese Arbeit wird also durch eine Gravitationskraft verrichtet $\phi(\theta) = -W = mg \ell (\cos \theta_0 -\cos \theta)$.

Antwort an$\mathbf{comment2}$:

Erwägen Sie, den Bob in einem gewissen Winkel zu unterlegen$\theta_{\text{max}}$aus der Vertikalen und loslassen. Am unteren Ende der Schaukel,$T(\theta) - mg = m v^2 (\theta)/\ell$Das heißt, hier ist die Spannung am größten. An einem beliebigen Punkt in der Bewegung müssen wir jedoch haben, damit die kreisförmige Bewegung bestehen bleibt

$$T(\theta) - mg \cos \theta = mv^2(\theta)/\ell. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$ Wenn der Bob den unteren Punkt seiner Schwingung passiert und sich auf dem Weg zurück nach oben befindet $\theta_{\text{max}}$, der Wert von $mg \cos \theta$wird abnehmen, was bedeutet $T$muss auch abnehmen, um zu bewahren $(1)$(Denken Sie daran, dass zwischen den beiden Begriffen ein relatives Minuszeichen steht). Wir müssen eine haben $|\mathbf T | > |m \mathbf g \cos \theta |$während der gesamten Kreisbewegung, so dass eine nach innen gerichtete radiale Nettokraft vorhanden ist, aber irgendwann beides $mg\cos \theta$Und $T$abnehmen, gleichen sie sich aus und heben sich gegenseitig auf.

Dies entspricht dem Ende der Kreisbewegung, die nach Energieerhaltung eintreten muss$(\pm) \theta_{\text{max}}$. In Unähnlichkeit,$m\mathbf g \sin \theta$ist hier am größten und nach unten gerichtet und treibt so die Masse zu weiteren Kreisbewegungen zurück. Es ist vielleicht einfacher, all diese Argumente zu visualisieren, indem man die Nettobeschleunigungsvektoren während der gesamten Bewegung zeichnet.

Antwort an$\mathbf{comment1}$:

Die Radialkraft lässt die Masse sozusagen weiterdrehen. Brechen Sie die Kreisbahn in kleine tangentiale Segmente auf. Wenn wir diese Kraft plötzlich auf Null bringen, verlässt der Bob die Kreisbahn und folgt dem Weg des letzten (geraden) Tangentialsegments, auf dem er sich befand - er hatte eine gewisse Geschwindigkeit, bevor dies geschah, also wird er sich vor der Schwerkraft so weiterbewegen verzerrt seinen Weg. Dies ist nur eine Folge des ersten Newtonschen Gesetzes.