Vorhersage von Rotation vs. Vorwärtsrutschen beim Schieben eines Objekts

Kurze Antwort:

Für den Idealfall ist der Weg des Quaders reibungsunabhängig. Der Hauptunterschied zwischen Ihren Schreibtischexperimenten und dem idealen Szenario besteht in Ihrer Annahme, dass die ausgeübte Kraft konstant ist (nämlich in Richtung).

Lange Antwort:

Lassen Sie uns einige Annahmen für das ideale Szenario darlegen:

1. Der Quader hat eine einheitliche Masse.
2. Der Quader hat einen gleichmäßigen Reibungskoeffizienten (keine „klebrigen“ Stellen).
3. Die auf den Quader ausgeübte Kraft ist wirklich konstant.

Es gibt auch eine gemeinsame Annahme über Reibungskräfte:

4. Reibungskräfte wirken immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung (d.h$\hat f_k = - \hat v$)

Anspruch 1:

Unter den obigen Annahmen 1 und 3 ist der Quaderpfad eine Kombination aus Rotation um das Zentrum und Translation des Zentrums.

Mit einer einzigen Kraft$\vec F$Angewandt auf den Quader ergibt das 2. Newtonsche Gesetz eine von Null verschiedene Beschleunigung des Massenschwerpunkts und eine von Null verschiedene Rotationsbeschleunigung um den Massenschwerpunkt (vorausgesetzt$\vec F$ist vom CM versetzt).

$$\begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{No Friction} & \vec F = m \vec a & \vec R \times \vec F = I \vec \alpha \\ \hline \end{array}$$

Anspruch 2:

Unter Annahme 2 und 4 oben ist der Weg des Quaders reibungsunabhängig.

$$\begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{Friction} & \vec F + \vec f_k = m \vec a & \vec R \times \vec F + \vec \tau_k= I \vec \alpha \\ \hline \end{array}$$

Dies kann intuitiv aus Annahme 4 verstanden werden: Wenn Reibung immer eine Widerstandskraft ist (dh hinter Ihnen gerichtet ist), hat sie niemals eine Komponente nach links oder rechts. Folglich beschleunigt oder verlangsamt es Sie nur; es ändert nichts an deinem Weg. Ein mathematischer Beweis ist unten angegeben.
Wenn die Reibung den Weg des Quaders nicht ändern kann, führt er unabhängig vom Reibungskoeffizienten immer noch die gleiche Menge an Rotation und Translation aus.

Probleme mit realen Beispielen

Annahme 3 ist die schwächste Annahme, wenn sie auf Experimente angewendet wird. Nehmen Sie zum Beispiel das Drücken einer Buchecke mit einem Finger. In diesem Fall erfährt das Buch wahrscheinlich nur eine Kontaktkraft (auch Normalkraft genannt) senkrecht zum Gesicht: Um wirklich eine konstante Kraft auszuüben, benötigen Sie eine Art Verbindung . Zum Beispiel eine Schubstange, die sich mit einem Stift im Quader verbindet. Andernfalls entgeht Ihnen ein Teil der aufgebrachten Kraft parallel zur Schlagfläche. Ohne diesen Verbindungsaufbau beginnt die Kraft mit der Translation des Quaders, dreht sich dann aber überwiegend, wenn Sie weiter in den Pfad hineinkommen.

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Beweis, dass Reibungskräfte den Weg eines Objekts nicht ändern:

Beginnen Sie mit dem Newtonschen Gesetz, aber zerlegen Sie die Kräfte in Komponenten parallel zur Geschwindigkeit und senkrecht zur Geschwindigkeit:

$$\Sigma \vec F_{||v} + \Sigma \vec F_{\perp v} = m \frac{d \vec v}{dt}$$ Die Geschwindigkeit sei geschrieben als$\vec v = v \hat v$(dh Größe und Richtung). Dann: $$\frac{d \vec v}{dt} = \frac{dv}{dt} \hat v + v \frac{d\hat v}{dt}$$ Anwenden der Erweiterung von$\frac{d\vec v}{dt}$und das Skalarprodukt mit nehmen$\hat v$: $$\Sigma \vec F_{||v} \cdot \hat v = m \frac{dv}{dt}\hat v \cdot \hat v + mv\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v$$ Das Skalarprodukt$\vec F_{\perp v} \cdot \hat v = 0$per Definition, während$\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v = 0$ist wahr, weil$\hat v \cdot \hat v = 1$per Definition. Daher: $$\Sigma F_{||v} = m \frac{dv}{dt}$$ Zeigt, dass Kräfte parallel zu v nur die Größe der Geschwindigkeit ändern können, nicht ihre Richtung.