Kleine Schwingungen einer schweren Saite

Ich löse ein Problem in der klassischen Feldtheorie und habe einige Schwierigkeiten. Ich versuche, kleine Schwingungen schwerer Saiten mit Fixpunkten zu untersuchen.

Zuerst habe ich diese Lagrange-Funktion aufgeschrieben:

$$S=\int dt ds \left[\frac{\rho}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\rho g y(s,t)+\frac{\lambda(s,t)}{2}\left(\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2-1\right)\right]$$

Dieser Lagrange beschreibt eine schwere Schnur mit festen Enden im Gravitationsfeld. Wo$\rho$ist Dichte,$g$ist die Erdbeschleunigung ,$s$ist ein natürlicher Parameter .

Also habe ich 3 Gleichungen von Euler-Lagrange-Gleichungen .

$$\rho\ddot{x}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial x}{\partial s }\right)=0$$ $$\rho\ddot{y}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial y}{\partial s }\right)+\rho g=0$$ $$\left(\frac{\partial x}{\partial s }\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s }\right)^2=1$$

Danach habe ich eine stationäre Lösung gefunden ($\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial \lambda}{\partial t}=0$). (Ich habe nur gesagt$\ddot{x}=\ddot{y}=0$)

$$y_0(x)=-\frac{C_1}{\rho g}\cosh\left(\frac{\rho g x}{C_1}+C_2\right)$$

Wo$C_1,C_2$ist eine Integrationskonstante (hängt von den Positionen der Enden der Zeichenfolge ab). Und$\cosh(x)$ist hyperbolischer Kosinus .

Um kleine Oszillationen zu untersuchen, habe ich versucht, die Störungstheorie anzuwenden .

Also habe ich gesetzt

$$y(s,t)=y_0(s)+\bar{y}(s,t)$$ $$x(s,t)=x_0(s)+\bar{x}(s,t)$$ $$\lambda(s,t)=\lambda_0(s)+\bar{\lambda}(s,t)$$

Aber danach bekomme ich schwierige Differentialgleichungen, die ich nicht lösen kann.

Vielleicht kennt jemand den einfacheren Ansatz, um dieses Problem zu lösen, oder weiß, wie man es auf diese Weise löst?