Kanonische Störungstheorie der Keplerschen Bahnen

Präambel

Die Bewegung eines Testteilchens um eine Punktmasse$\mu$wird durch den Hamiltonian geregelt

$$(*)\qquad\qquad H(r,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2} + \frac{p_\phi^2}{2r^2} - \frac{\mu}{r}$$ die bekannte Lösungen und Aktionsdarstellung hat $$H(J_r,J_\phi) = -\frac{\mu^2}{2(J_r+J_\phi)^2} = -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2\frac{J_r}{J_\phi} + 3 \frac{J_r^2}{J_\phi^2} + O(J_r^3) \right),$$ Wo $J_\phi=p_\phi$. Jetzt bei fest $p_\phi=J_\phi$, kann man den Hamiltonoperator betrachten $(*)$als nur für die radiale Bewegung und schreiben Sie es neu als $$H_r(r,p_r) = \frac{p_r^2}{2} + \Phi_{\mathrm{eff}}(r) \qquad\text{with}\qquad \Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{r} + \frac{J_\phi^2}{2r^2},$$ was hat $J_\phi$als Parameter. Das Minimum von $\Phi_{\mathrm{eff}}$tritt am Radius auf $r_{\mathrm{c}}=J_\phi^2/\mu$der Kreisbahn mit Drehimpuls $J_\phi$. $\Phi_{\mathrm{eff}}$hat die Taylorentwicklung $$\Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2 - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4 + O(x^5)$$ mit $x\equiv r-r_{\mathrm{c}}(J_\phi)$. Hier ist der erste Term die Energie der Kreisbahn. Jetzt geteilt $H_r=H_0 + H_1$mit $$\begin{align} H_0 &= -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{p_x^2}{2} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2,& H_1 &= - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4. \end{align}$$ Die klassische Epizykeltheorie (zB Lindblad 1926) entspricht dem Ignorieren $H_1$und lösen $H_0$, das ist eine einfache harmonische Bewegung mit Epizykelfrequenz $\kappa\equiv\sqrt{\mu/r_{\mathrm{c}}^3}=\mu^2/J_\phi^3$, geben $$\begin{align} x_0 &= \sqrt{\frac{2J_r}{\kappa}}\sin\theta, &\theta&=\vartheta+\kappa t,\\ H_0 &= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} + \kappa J_r &&= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2 \frac{J_r}{J_\phi}\right), \end{align}$$ was die erste Ordnung des vollständigen Hamilton-Operators ist $H(J_r,J_\phi)$über. All dies ist Standard-Lehrbuchkram, außer $H_1(x)$(welches ist richtig).

Frage

Verwenden Sie nun die kanonische Störungstheorie, um zur nächsten Ordnung zu gelangen. Nach Lichtenberg & Liebermann (Springer 1983) läuft dies auf eine Mittelung der Störung hinaus$H_1(x)$über der ungestörten Umlaufbahn (beachten Sie, dass$\langle\sin^3\theta\rangle=0$Und$\langle\sin^4\theta\rangle=3/8$):

$$\left\langle H_1\left(x=x_0(\theta)\right)\right\rangle = \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} \frac{4J_r^2}{\kappa^2}\frac{3}{8} = \frac{9\mu^2}{4J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}.$$

Allerdings aus dem Vollen$H(J_r,J_\phi)$oben erwarten wir

$$H_1 = -\frac{3\mu^2}{2J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}$$ die sich um einen Faktor unterscheidet $-3/2$.

Was ist bei meiner Ableitung schief gelaufen?