Birkhoff-Methode für harmonische Oszillatorstörung

Problem: Gegebener Hamiltonoperator

$$H = \frac12 (p^{2}+q^{2})+q^{3}-3qp^{2}$$ eine perturbative kanonische Transformation durchführen $(q,p) \rightarrow (Q,P)$so dass der neue Hamiltonoperator, abgesehen von Gradzahlen größer als 4 in $Q$Und $P$, ist von der Form $$\bar{H}(Q,P)= \frac12 (P^{2}+Q^{2})+c(P^{2}+Q^{2})^{2}$$ B. durch Verwendung von Birkhoffs Version der kanonischen Störungstheorie, bei der man zuerst eine kanonische Transformation in komplexe Koordinaten durchführt $a$Und $a^{\dagger}$, Wo $a= \frac{(q-ip)}{\sqrt{2}}, a^{\dagger}=\frac{(p-iq)}{\sqrt{2}}.$

Mein Problem: Bei meiner früheren Verwendung der Birkhoff-Störungsmethode (die meiner Meinung nach häufiger als Birkhoff-Normalform bezeichnet wird ) besteht das Ziel darin, den Hamilton-Operator in eine Potenzreihe der Aktion zu bringen.$bb^{\dagger}$, Wo$(a,a^{\dagger})\rightarrow(b,b^{\dagger})$, und ich sehe nicht, wie ich die folgende Transformation erhalten soll, um den Hamilton-Operator in der gewünschten Form zu geben.

Bisherige Arbeit: Nach dem Ersetzen$(q,p) \rightarrow (a,a^{\dagger})$, Wo$q=\frac{(a+ia^{\dagger})}{\sqrt{2}}, p=\frac{(ia+a^{\dagger})}{\sqrt{2}}$,

$$H(a,a^{\dagger})=iaa^{\dagger} + \sqrt{2}(a^{3}-ia^{\dagger 3})$$ Ich wählte dann eine erzeugende Funktion $F(a,b^{\dagger}) = ab^{\dagger}+S(a,b^{\dagger})$, Wo $S(a,b^{\dagger})$ist ein kubisches Polynom. Dann $$a^{\dagger} = \frac{\partial F}{\partial a} = b^{\dagger}+\frac{\partial S(b,b^{\dagger})}{\partial b} + \text{higher order terms}$$ $$b = \frac{\partial F}{\partial b^{\dagger}} = a+\frac{\partial S(b,b^{\dagger})}{\partial b^{\dagger}} + \text{higher order terms}$$ Dann denke ich, dass ich etwas falsch mache, wenn ich hier die Terme höherer Ordnung im Auge behalte.

Ich würde mich sehr über jede Anleitung zum Verständnis dieses Problems freuen. Vielen Dank für Ihre Zeit.