Berechnung der Periode einer quasi-kreisförmigen Umlaufbahn

Beim Lösen einer Aufgabe musste ich die Gleichung der quasi-kreisförmigen Bahnen eines Objekts mit dem Potential finden v ( R ) = − a R − 1 − η und ich drückte es so aus:

R ( ϕ ) = R C 1 + ϵ cos ⁡ ( ϕ 1 − η )
Wo R C ist der Radius der Kreisbahn und ϵ hängt von den Anfangsbedingungen ab. Jetzt werde ich (unter anderem) nach der Frist des Antrags gefragt. Ich dachte, um den Zeitraum zu finden, sollte ich integrieren ϕ ( T ) Ausnutzung der Drehimpulserhaltung L in der Form ϕ ˙ ( T ) = L M R 2 ( ϕ ) . Diese Integration ist gar nicht so einfach und meiner Meinung nach nur annähernd möglich.

Der Autor der Übung schrieb jedoch, dass der Zeitraum leicht gefunden werden kann M R C 2 2 π / T = L aber er erklärt nicht warum. Meine Frage ist, woher kommt diese Formel und ob sie genau oder nur eine Annäherung ist.

Das ist, weil M R 2 ω ist der Drehimpuls.
@RonMaimon Ich weiß, aber ω ( T ) ist eine Funktion der Zeit, also nicht unbedingt 2 π / T
Der Stipendiat ignoriert die Unrundheit erster Ordnung.

Antworten (2)

Ich denke, "quasi-zirkular" ist ein irreführender Name für dieses Problem. Vielleicht wäre "quasi-elliptisch" besser? Ich sage das, weil dieses Problem tatsächlich eine geschlossene kreisförmige Umlaufbahn enthält (deren Radius Sie genannt haben R C ). Für diese Umlaufbahn können Sie die Periode unter Verwendung des zweiten Kepler-Gesetzes finden, was das von Ihnen gezeigte Ergebnis liefert.

Eine interessante Herangehensweise an dieses Problem besteht darin, nur kleine radiale Schwingungen um den Kreis herum zu betrachten. Finden Sie die Schwingungsfrequenz, indem Sie das effektive Potential um das Minimum erweitern. Sehen Sie, wie dies mit der Frequenz der Kreisbahn zusammenhängt. Was passiert, wenn η → 0 ? Sie sollten feststellen, dass in diesem Fall (inverses quadratisches Kraftgesetz) die Kleinschwingungsfrequenz identisch mit der Kreisbahnfrequenz ist. Dies ist eine andere Art zu sehen, dass die Umlaufbahnen ellipsoidisch sein müssen. Aber für Nicht-Null η , das ist nicht mehr der Fall. Für klein η , erhalten Sie stattdessen nahezu Ellipsen, die sich einfach nicht schließen lassen. Diese Präzessionsellipsen werden durch die von Ihnen angegebene radiale Formel beschrieben.

Ihr Problem ist eines eines Potenzials, das nur vom Radius abhängt. Newton bewies, dass bei solchen Problemen der Drehimpuls erhalten bleibt. Ihr Ausbilder hat diese wohlbekannte Tatsache verwendet.

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