QFT auf Baumebene und klassische Felder/Teilchen

Das hat mich auch eine Weile verwirrt, bis ich diese tolle Sammlung von Notizen gefunden habe: homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/classical_fields.pdf

Lassen Sie mich kurz zusammenfassen, was da drin ist.

Das freie Klein-Gordon-Feld erfüllt die Feldgleichung

$$(\partial_{\mu} \partial^{\mu} +m^2) \phi(x) = 0$$ die allgemeinste Lösung dieser Gleichung ist $$\phi(t, \vec{x}) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \; \frac{1}{2E_{\vec{k}}} \left( a(\vec{k}) e^{- i( E_{\vec{k}} t -\vec{k} \cdot \vec{x})} + a^{*}(\vec{k}) e^{ i (E_{\vec{k}} t- \vec{k} \cdot \vec{x})} \right)$$ wo $$\frac{a(\vec{k}) + a^{*}(-\vec{k})}{2E_{\vec{k}}} = \int_{-\infty}^{\infty} d^3x \; \phi(0,\vec{x}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}}$$ und $$\frac{a(\vec{k}) - a^{*}(-\vec{k})}{2i} = \int_{-\infty}^{\infty} d^3x \; \dot{\phi}(0,\vec{x}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}}$$

Die Einführung eines Wechselwirkungspotentials in die Lagrange-Funktion ergibt die Feldgleichung

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi = -V'(\phi)$$

Wahl einer Phi-4-Theorie$V(\phi) = \frac{g}{4} \phi^4$das führt zu

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi = -g \phi^3$$

Führen Sie eine Greensche Funktion für den Operator ein

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) G(x) = -\delta(x)$$

die gegeben ist durch

$$G(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \; \frac{-e^{-i k \cdot x}}{-k^2 + m^2}$$

Lösen Sie nun die vollständige Theorie perturabtiv durch Einsetzen

$$\phi(x) = \sum_{n} g^n \phi_{n}(x)$$

in die Differentialgleichung und identifizierende Potenzen von$g$um die folgenden Gleichungen zu erhalten

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_0 (x) = 0$$

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_1(x) = -\phi_0(x)^3$$

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_2 (x) = -3 \phi_0(x)^2 \phi_1(x)$$

Die erste Gleichung ist nur die Freifeldgleichung, die die obige allgemeine Lösung hat. Der Rest wird dann rekursiv mit gelöst$\phi_0(x)$. Also die Lösung für$\phi_1$ist

$$\phi_1(x) = \int d^4y\; \phi_0(y)^3 \, G(x-y)$$

usw. Wie in den Anmerkungen gezeigt wird, erzeugt diese Störungserweiterung alle No-Loop-Feynman-Diagramme, und dies ist der Ursprung der Behauptung, dass die Diagramme auf Baumebene die klassischen Beiträge sind ...

Es gibt eine sehr einfache Möglichkeit, dies zu sehen, und zwar durch eine$\hbar$Serie. Diese Behauptung geht auf Sydney Coleman zurück und besagt, dass man im Ultravioletten eine Expansion mit macht$\hbar$auf Null gehen. Eine frühere Antwort zitierte diese Vorlesungen über klassische Felder, aber ich möchte von der Erzeugungsfunktion der Skalarfeldtheorie ausgehen und versuchen, die klassische Grenze zu verstehen:

$$Z[j]=\int[d\phi]e^{\frac{i}{\hbar}\int d^4x\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2\hbar^2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4\hbar}\phi^4+j\phi\right]}.$$

Unser Ziel ist es, die Störungstheorie für die klassischen Felder auf Baumebene wiederherzustellen, da dies Colemans Behauptung beweisen wird. Tatsächlich kann das obige Erzeugungsfunktional in einer anderen Form umgeschrieben werden als

$$Z[j]=e^{-i\hbar^2\frac{\lambda}{4}\int d^4x\frac{\delta^4}{\delta j(x)^4}}e^{\frac{i}{2\hbar}\int d^4xd^4yj(x)\Delta(x-y)j(y)}.$$

Konzentrieren wir uns nun auf die Zweipunktfunktion, da das Argument für die anderen Korrelationsfunktionen dasselbe ist. Wir werden bekommen

$$\left.(-i\hbar)^2\frac{1}{Z}\frac{\delta^2Z}{\delta j(x)\delta j(y)}\right|_{j=0}=i\hbar\Delta(x-y).$$

Aus diesen Gleichungen ist es nicht schwierig, die erste Quantenkorrektur bei einer Schleife wiederherzustellen, die durch gegeben ist

$$-i\hbar^4\frac{\lambda}{4}\int d^4\tilde x \frac{\delta^4}{\delta j^4(\tilde x)}\frac{\delta^2}{\delta j(x)\delta j(y)}\left(-\frac{1}{3!8\hbar^3}\int d^4x_1d^4y_1d^4x_2d^4y_2d^4x_3d^4y_3\right.$$ $$\left.j(x_1)\Delta(x_1-y_1)j(y_1)j(x_2)\Delta(x_2-y_2)j(y_2)j(x_3)\Delta(x_3-y_3)j(y_3)\right)$$

und dies wird proportional zu sein$\hbar$. Dies ist die von uns angestrebte Schlussfolgerung, die Colemans Behauptung beweist. Eine ähnliche Analyse kann anhand des effektiven Potenzials durchgeführt werden. Dieser Beweis vervollständigt die vorherige Antwort, aber ausgehend von der Quantenfeldtheorie.

Das klassische Analogon von Quanten$\Phi^4$Theorie ist klassisch$\Phi^4$Theorie, mit der gleichen Aktion. Es gibt keine Teilchen, aber es gibt immer noch Streuung von Wellen! Die Entsprechung zwischen QFT auf Baumebene und klassischen Feldern findet nur auf Feldebene statt. (Teilchen treten in der klassischen Feldtheorie nur in der Grenze auf, wo die geometrische Optik gültig ist. Selbst in der Quantenfeldtheorie ist das Teilchenbild nicht wirklich angemessen, außer im Regime der geometrischen Optik.)

Feynman-Diagramme entstehen bei jeder störenden Behandlung von Korrelationen von Feldern, auch klassisch. Tatsächlich sind Feynman-Diagramme nur eine grafische Notation zum Schreiben von Produkten von Tensoren mit vielen Indizes, die über die Einstein-Summierungskonvention summiert werden. Die Indizes der Ergebnisse sind die äußeren Linien, während die übersummierten Indizes die inneren Linien sind. Als solche Summen von Produkten treten bei jeder Mehrpunkterweiterung von Erwartungen auf, unabhängig von der klassischen oder quantenmechanischen Natur des Systems. Es wird keine Verbindung mit Partikeln impliziert, es sei denn, man erzwingt sie.

Was ist die genaue Aussage über die Entsprechung zwischen QFT auf Baumebene und dem Verhalten klassischer Felder und Teilchen?

Es folgen vier Diskussionen über die Verbindung zwischen Quanten- und klassischen Feldern, betrachtet aus verschiedenen Blickwinkeln. Das wird die Leute in unterschiedlichem Maße interessieren (hoffe ich). Wenn Sie sich nur für die Schleifenerweiterung interessieren, fahren Sie mit C fort.

[Ein erster Punkt: Viele Leute, mich eingeschlossen, würden gerne eine (relativistische) Wechselwirkungstheorie von Quantenfeldern sehen, die durch eine (höchstwahrscheinlich nichtrelativistische) Theorie von Quantenteilchen angenähert wird. Die obige Frage wurde möglicherweise mit dieser Annäherung im Hinterkopf gestellt. Aber ich habe diese Annäherung noch nie gesehen.]

A. Der einzige Rahmen, den ich kenne, der sowohl die klassische als auch die Quantenphysik umfasst, besteht darin, die Theorie als eine Abbildung von Observablen auf eine sogenannte C*-Algebra zu betrachten. Ein Zustand bildet Elemente (der Algebra) auf Erwartungswerte ab. Bei gegebenem Zustand kann eine Darstellung der Algebra-Elemente als Operatoren auf einem Hilbert-Raum erhalten werden. (Ich spreche von der GNS-Rekonstruktion.)

Betrachten wir nun eine freie Skalarfeldtheorie.

Im Quantenfall wird es einen Vakuumzustand geben, und die GNS-Rekonstruktion aus diesem Zustand wird die übliche Feldtheorie ergeben. (Es wird auch Zustände mit einer Temperatur ungleich Null und einer Teilchendichte ungleich Null geben. Ich erwähne dies einfach als eine Werbung für den algebraischen Ansatz.)

Im klassischen Fall wird es auch einen Vakuumzustand geben. Aber die Rekonstruktion aus diesem Zustand wird einen trivialen, eindimensionalen Hilbert-Raum ergeben. Und das Skalarfeld wird einheitlich Null sein. [Ich unterdrücke irrelevante technische Details.]

Glücklicherweise wird es im klassischen Fall auch Zustände für jede klassische Lösung geben. Für diese sind die GNS-Darstellungen eindimensional, wobei jeder Operator den gleichen Wert wie die klassische Lösung hat.

Also formal $\hbar\to0$Grenzwert wird die Algebra kommutativ, sie hat Zustände, die klassischen Lösungen entsprechen, und ihre Observablen nehmen in diesen Zuständen ihre klassischen Werte an.

Im Falle einer interagierenden Theorie das Formale$\hbar\to0$Grenze ist wegen der Renormierung nicht so klar. Allerdings, wenn, wie ich mich vage erinnere, die verschiedenen Renormierungsgegenbegriffe in Ordnung sind$\hbar^n$zum$n > 0$, sie spielen im Formalen keine Rolle$\hbar\to0$Grenze. In diesem Fall das Formale$\hbar\to0$Grenze ergibt die klassische Theorie (wie im Freifeldfall).

Ein weiteres interessantes Beispiel ist QED. Mit$\hbar=0$, die fermionischen Felder antikommutieren, was sie im Kontext einer C*-Algebra zu Null macht. Also verschwinden alle fermionischen Felder als$\hbar\to0$, und uns bleibt die freie klassische Elektrodynamik.

Sie können aus diesen formalen Grenzen von C*-Algebren Befriedigung ziehen oder auch nicht. In jedem Fall sind wir mit ihnen fertig. Im Folgenden sprechen wir über gewöhnliche QFT.

B. Betrachten wir nun einen freien Klein-Gordon-QFT. Wir wählen einen "kohärenten" Zustand und erhalten eine ħ → 0-Grenze. Eigentlich wird dies eine Skizze ohne Beweise sein .

Der Lagrange ist$\frac12(\partial\phi)^2-\frac12\nu^2\phi^2$. Notiz$\nu$Anstatt von$m$.$m$hat die falschen Einheiten, also sehen Sie stattdessen eine Frequenz. ($c = 1$.)

Wir haben die übliche freie Felderweiterung in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Diese erfüllen:

$$[a(k),a^\dagger(l)] = \hbar (2\pi)^2(2k^0) \delta^3(k - l)$$

$k$und$l$sind keine Momente.$\hbar k$und$\hbar l$sind Momente. Und die Masse eines einzelnen Teilchens ist$\hbar\nu$.

Der Teilchenzahloperator$N$ist mit$\not \!dk = d^3k (2\pi)^{-3}(2k^0)^{-1}$):

$$N = \hbar^{-1}\int\not \!dk a^\dagger(k)a(k)$$

Und für eine nette Funktion$f(k)$, definieren wir den kohärenten Zustand$|f\rangle$durch:

$$a(k)|f\rangle = f(k)|f\rangle$$

[Ich lasse den Ausdruck für weg$|f\rangle$.] Beachten Sie, dass:

$$\langle f| N |f\rangle =\hbar^{-1} \int\not \!dk |f(k)|^2$$

Wie$\hbar\to0$,$|f\rangle$besteht aus einer großen Anzahl sehr leichter Teilchen.

$|f\rangle$entspricht der klassischen Lösung:

$$\Phi(x) = \int\not \!dk [f(k)\exp(ik⋅x) + \text{complex conjugate}]$$

Tatsächlich haben wir für normal geordnete Produkte von Feldern Ergebnisse wie die folgenden:

$$\langle f|:φ(x)φ(y):|f\rangle = \Phi(x)\Phi(y)$$

Da der Unterschied zw$:φ(x)φ(y):$und$φ(x)φ(y)$verschwindet als$\hbar\to0$, haben wir in dieser Grenze:

$$\langle f| φ(x)φ(y) |f\rangle\to\Phi(x)\Phi(y)$$

Wenn wir aus diesen Erwartungswerten die Theorie rekonstruieren, erhalten wir einen eindimensionalen Hilbertraum auf dem$φ(x) = \Phi(x)$.

Mit kohärenten Zuständen können wir also alle klassischen Zustände in erhalten$\hbar\to0$Grenze.

C. Betrachten Sie ein x-Raum-Feynman-Diagramm in einer herkömmlichen QFT-Störungstheorie. Lassen:$n =$die Anzahl der Felder, die multipliziert werden.$P =$die Anzahl der Bögen (dh Propagatoren).$V =$die Anzahl der Ecken.$L =$die Anzahl der unabhängigen Schleifen.$C =$die Anzahl der angeschlossenen Komponenten. Letztlich lassen$H$sei die Anzahl der Faktoren von$\hbar$im Diagramm. Dann haben wir unter Verwendung von Standardergebnissen:

$$H = P - V = n + L - C > 0$$

Also, wenn Sie festlegen$\hbar\to0$, alle Feynman-Diagramme verschwinden. Alle Felder sind identisch Null.

Das ist vernünftig. Die Feynman-Diagramme tragen zu Vakuumerwartungswerten bei . Und das klassische Vakuum entspricht überall verschwindenden Feldern.

D. Angenommen, wir wollen nicht nehmen$\hbar\to0$, aber wir wollen die Theorie bis zu betrachten, sagen wir,$O(\hbar^2)$. Aber was ist „Theorie“? Lassen Sie die Antwort sein: die grünen Funktionen. Aber alle verbundenen Feynman-Diagramme mit$n > 3$haben$H > 2$. Um diese Diagramme und die zugehörigen Green-Funktionen beizubehalten, müssen wir den Faktor ignorieren$\hbar^n$das ist Teil jeder n-Punkt-Funktion.

Und das tun die Menschen. Wenn Menschen beispielsweise das erzeugende Funktional für verbundene grüne Funktionen definieren, fügen sie einen Faktor von ein$1/\hbar^{n-1}$Multiplizieren der n-Punkt-Funktionen. Mit diesen Einfügungen wird die obige Gleichung sozusagen:

$$``H" = L$$

Insbesondere erscheinen alle (verbundenen) Baumdiagramme bei$O(1)$im erzeugenden Funktional.

Denken Sie jedoch daran, dass alle diese Diagramme als verschwinden$\hbar\to0$. Ich sehe keine Möglichkeit, sie als klassisch zu interpretieren.

Das ist eine ausgezeichnete und sehr tiefgründige Frage.

Betrachten Sie QED als Beispiel: Eine klassische elektromagnetische ebene Welle hat eine Energiedichte von$\frac{1}{2} |{\bf E}|^2$, während ein Gas von Photonen mit Frequenz$\omega$und Zahlendichte$n$hat eine Energiedichte von$n \hbar \omega$. (Genau genommen ist die Photonenzahldichte nicht genau definiert, weil die Photonenzahl nicht erhalten bleibt, da sich Photonen ständig in virtuelle Elektron-Positron-Paare aufspalten und rekombinieren. Aber für eine große Anzahl von Photonen werden diese Dichteschwankungen winzig und kleiner Dichte wird effektiv konstant.) Wenn wir die beiden Größen gleichsetzen, stellen wir fest, dass eine Ansammlung einer großen Anzahl kollinearer Photonen mit demselben Impuls einer EM-Welle mit Amplitude entspricht$|{\bf E}| = \sqrt{2 n \hbar \omega}$.

Wenn wir also die Anzahldichte konstant halten und nehmen$\hbar \to 0$, verschwindet die entsprechende klassische Welle vollständig. Die klassische Grenze einer endlichen Anzahl von Quantenteilchen verschwindet; Um eine klar definierte klassische Grenze zu erhalten, müssen Sie nehmen$n \to \infty$und$\hbar \to 0$so, dass ihr Produkt konstant bleibt. Dies entspricht dem Einbeziehen von Feynman-Diagrammen mit immer mehr Außenbeinen. Dies stimmt mit den Anmerkungen in Kyles Antwort überein: Die Lösungen der klassischen Bewegungsgleichung des Lagrange sind eine Summe von Feynman-Diagrammen auf Baumebene mit allen möglichen Zahlen von Außenbeinen, da ein vollständig klassisches Wellenpaket einer unendlichen Anzahl von Quantenteilchen entspricht.

Bei einer QFT-Feynman-Entwicklung trägt jeder Scheitelpunkt einen Faktor der Kopplungskonstante bei$g$und jede Schleife trägt einen Faktor von bei$\hbar$. Die Anzahl der Schleifen muss eindeutig kleiner sein als die Anzahl der Knoten, sodass sich eine Weak-Coupling-Entwicklung, bei der wir nur Diagramme mit einer kleinen Anzahl von Knoten betrachten, auch als semiklassische Entwicklung herausstellt, bei der wir nur Diagramme mit einer kleinen Anzahl von Schleifen betrachten (obwohl die Reihenfolge der beiden Erweiterungen nicht immer genau übereinstimmt). Das Umgekehrte gilt nicht, denn Sie können Diagramme mit nur einer Schleife, aber vielen Scheitelpunkten und Außenschenkeln haben. Solche Diagramme entsprechen Streuprozessen, die "ziemlich klassisch" sind und daher in einer semiklassischen Entwicklung wichtig sind, aber in einer Entwicklung mit schwacher Kopplung extrem schwach gekoppelt und daher unwichtig sind. QFT ist jedoch typischerweise in Kontexten nützlich, in denen wir uns mit Streuprozessen für eine kleine Anzahl von Teilchen befassen, daher ist es natürlich, die Anzahl der äußeren Beine festzuhalten. In diesem Fall handelt es sich bei einer Feynman-QFT-Entwicklung zwar explizit nur um eine Entwicklung mit schwacher Kopplung, in der Praxis handelt es sich jedoch um eine gleichzeitige Entwicklung mit schwacher Kopplung und semiklassischer Entwicklung.

In der klassischen Feldtheorie müssen wir uns keine Gedanken über Schleifen machen, was die Sache einfacher macht. Andererseits ist es im klassischen Kontext aus dem oben beschriebenen Grund nicht natürlich, die Anzahl der Außenbeine festzuhalten (jeder Wellenstreuprozess erhält Beiträge von Feynman-Diagrammen mit allen Zahlen von Außenbeinen), was Dinge macht Schwerer. Natürlich hört man in der Praxis bei einer störungsbedingten Entwicklung schließlich auf, nachdem man alle Feynman-Diagramme mit einer bestimmten maximalen Anzahl von Knoten addiert hat, die notwendigerweise auch eine bestimmte maximale Anzahl von Außenschenkeln haben. In einem semiklassischen Kontext wo$\hbar$klein aber positiv ist, entspricht dies Wellen mit kleiner Amplitude. Anders als im QFT-Kontext, wo eine Expansion mit schwacher Kopplung automatisch auch zu einer semiklassischen Expansion wird, wird im klassischen Kontext eine Expansion mit schwacher Kopplung automatisch auch zu einer Expansion mit kleiner Wellenamplitude . Die Streuung zwischen großen Wellen würde Beiträge von Feynman-Diagrammen mit vielen äußeren Beinen und daher einer großen Anzahl von Scheitelpunkten erhalten, was in einer Expansion mit schwacher Kopplung unpraktisch wäre.

Hier ist eine andere Möglichkeit, über diesen letzten Punkt nachzudenken. In einer linearen Theorie ist die Amplitude der abgehenden Wellen proportional zur Amplitude der ankommenden Wellen. Wenn Sie also kleine Wellen hineinsenden, kommen kleine Wellen heraus. Aber in einer Wechselwirkungstheorie sind die klassischen Bewegungsgleichungen nichtlinear, und Sie können Rückkopplungsschleifen erhalten. Es ist daher möglich, dass Sie kleine Wellen einsenden können, die sich jedoch nichtlinear und groß kombinierenWellen kommen heraus. Eine schwach gekoppelte Theorie sollte "ziemlich linear" sein, daher sollte dies unwahrscheinlich sein. Daher sollten die Feynman-Diagramme mit einer kleinen Anzahl von ein- und ausgehenden Außenbeinen am wichtigsten sein. Aber im stark nichtlinearen Regime bedeutet die Tatsache, dass kleine ankommende Wellen große abgehende Wellen erzeugen können, dass Feynman-Diagramme mit wenigen ankommenden, aber vielen abgehenden externen Beinen wichtig sein können – was die Nützlichkeit der Erweiterung einschränkt.

TLDR: Die Feynman-Erweiterung einer klassischen Feldtheorie ist nur sinnvoll, wenn die Feldkopplung schwach ist und die Streuwellen kleine Amplituden haben.