Keine weitere Gebühr für die Lorentz-Transformation in Bezug auf Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren

Ich versuche, die erhaltene Ladung für eine kontinuierliche Lorentz-Symmetrie für ein echtes Skalarfeld in Bezug auf Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren zu berechnen. Also habe ich,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

Nach einem ähnlichen Argument wie Welches Erhaltungsgesetz entspricht Lorentz-Boosts? , ich kann zeigen, dass die Erhaltungsladung ist

$$M^{\mu \nu} = \int \left( x^{\mu} T^{0 \nu} - x^{\nu} T^{0 \mu} \right) \mathrm{d}^3x$$

Ich muss dies jedoch in Bezug auf Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken. Also begann ich damit, die Terme für meinen Stress-Energie-Tensor aufzuschreiben.

Für dieses Problem schreiben wir die Lorentz-Transformation als:

$$\Lambda^{\mu}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + \omega^{\mu}_{\nu}$$

Wo$\omega$ist antisymmetrisch. Aus diesem Grund wird unser Stress-Energie-Tensor auch antisymmetrisch sein und so$T^{00} = 0$. Damit kann ich schreiben:

$$T^{0\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \partial^{\mu} \phi\; - \; \delta^{0 \mu} = \frac{1}{2} \partial^{0} \phi \; \partial^{\mu} \phi$$

Damit erhalte ich,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \partial^{0}\phi\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \partial^{0}\phi \; \partial^{\nu} \phi$$

Wenn wir die Signatur (1, -1, -1, -1) für unsere Metrik verwenden, können wir schreiben:

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \dot{\phi}\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \dot{\phi} \; \partial^{\nu} \phi = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu}\; \Pi(x, t)\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \; \Pi(x, t) \; \partial^{\nu} \phi$$

Wo$\Pi(x, t)$ist unser kanonisch konjugierter Impuls (Dichte).

Nun, ich bin etwas zweifelhaft über den folgenden Teil, aber was ich als nächstes tat, war, zu argumentieren, dass weil$x^{\mu}$nur eine Komponente des Positions-4-Vektors (und damit eine Zahl) sein wird, kann ich es außerhalb des Integrals verschieben, um es zu schreiben

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\nu} \phi - x^{\nu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\mu} \phi \right]$$

Die Zeichen haben sich umgedreht, als ich den Index senkte. Das gibt,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} P_{\nu} - x^{\nu} P_{\mu} \right] = \frac{1}{2} \left[ x^{\nu} P^{\mu} - x^{\mu} P^{\nu} \right]$$

Dies ist sinnvoll, da dies die Form von Drehimpulsen annimmt, aber ich weiß nicht, wie ich dies vereinfachen soll, um es als Summe eines Produkts von Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren zu erhalten, von denen einer differenziert ist. Ich stecke hier fest.