ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 in der Quantenmechanik

Oft kann die klassische Grenze eines Quantensystems gesehen werden, indem einfach die Grenze als angenommen wird$\hbar\rightarrow 0$.

Beispielsweise hat ein harmonischer Quantenoszillator Energieniveaus, die ein Vielfaches davon sind$\hbar$.

In der Grenze als$\hbar\rightarrow 0$, können wir sehen, dass die Energieniveaus kontinuierlich werden.

Ein weiteres Beispiel ist die Unschärferelation von Heisenberg . Die Unsicherheit in der Position eines Teilchens ($\sigma_x$) mal seine Ungewissheit im Momentum ($\sigma_p$), gehorcht der folgenden Beziehung:

In der Grenze als$\hbar\rightarrow 0$, gibt es keine solche Beschränkung zwischen Energie und Impuls.

Ich lasse zunächst den tangentialen Teil der Frage beiseite: In der Quantenfeldtheorie gibt es Ströme und Ladungen, die klassisch, aber nicht quantenmechanisch erhalten bleiben, das heißt, es gibt Ordnungswidrigkeiten dieser Erhaltungssätze$\hbar^2$, und daher gelten die Symmetrien klassisch, aber nicht quantenmechanisch. (Siehe unten, was das bedeutet.) Die Nicht-Erhaltungsstücke werden als Quantenanomalien und die entsprechenden Symmetrien als anomal bezeichnet . (Andere symmetriebrechende Phänomene erfordern Feinheiten des Satzes von QFT:Goldstone.)

Nun zu Ihrer Kernfrage: Die klassische Mechanik ist „im Grunde“ eine effektive Theorie der vollen Theorie der Welt, der Quantenmechanik, also ihrer klassischen Grenze .

Mathematisch bedeutet das, dass alle interessierenden Größen Funktionen des Dimensionalen sind$\hbar$, also beinhalten sie normalerweise ein klassisches Stück ohne$\hbar$und ein "Quantenkorrekturstück" mit Potenzen von$\hbar$normiert durch charakteristische Größen derselben Dimension, die das betreffende Problem dominieren, also Aktionen, Drehimpulse usw., um dimensionslos zu sein.

Wenn diese Größen makroskopische Werte annehmen (also für technische Drehimpulse oder Wirkungen), sind diese Kräfte und damit Quantenkorrekturen unendlich klein und daher vernachlässigbar. Der führende Begriff in dieser gedanklichen Erweiterung wird als klassische Grenze bezeichnet , und viele Texte über den Quantenoszillator erinnern den Studenten daran, wie gering solche Korrektureffekte jenseits dieser Grenze in der Praxis sind und wenn sie in den Vordergrund treten und Atome und Kristalle usw. kontrollieren .

Ein faszinierendes technisches Merkmal tritt in dieser Grenze auf – tatsächlich dramatisiert im Kampf der Menschheit, diese Grenze im 20. Jahrhundert zu überschreiten: Die mathematischen Regeln, die die vollständige QM-Theorie beschreiben, unterscheiden sich stark von der Mathematik der klassischen Grenze. QM wurde in den 1920er Jahren hauptsächlich mit einem entschlossenen Beharren darauf ausgearbeitet, sich von der verwirrenden klassischen Grenze fernzuhalten und ihre mathematische Struktur mit schwindelerregender revolutionärer Hingabe zu verletzen!

Die Neuformulierung der QM-Formulierung in einer Weise, die diese Grenze plausibel machte (über das frühe und beruhigende Ehrenfest-Theorem hinaus), war erst vor 69 Jahren: die Phasenraum-Formulierung der QM . In dieser Formulierung wird auf Schritt und Tritt deutlich, wie QM eine „Verformung“ der klassischen Mechanik (ein Begriff aus Mathematik und Technik: bedeutet im Grunde systematische Korrekturtheorie) ist und wie umgekehrt die klassische Mechanik eine annähernd zusammenfassende effektive Beschreibung der QM ist. (Zum Beispiel erklärte Dirac 1933, Ref. 1, wie das Prinzip der kleinsten Wirkung aus dem folgt$\hbar/S\rightarrow 0$Begrenzung der Amplituden durch konstruktive Interferenz.) Observable werden nun beschrieben durch$\hbar$-abhängige Wigner-Transformationen von Operatoren, deren detailliertes Verhalten sich in das von klassischen Observablen im Phasenraum "morpht".

Ihre Frage ist wirklich eine Frage zur Deformationsquantisierung, aber ohne bewussten Bezug darauf!

Verweise

1 Paul AM Dirac, "The Lagrangeian in Quantum Mechanics", Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion , 3 (1933) 64–72}}

2 Siehe auch JH Van Vleck, „The Korrespondenzprinzip in der statistischen Interpretation der Quantenmechanik“ , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 14 (1928) 178–188, (doi: 10.1073/pnas.14.2. 178)

Ich denke, diese Grenze kann am besten verstanden werden, wenn man die Wahrscheinlichkeitsamplitude schreibt, mit der ein Teilchen von einem Punkt ausgeht$X$bis zu einem Punkt$X'$zu einem späteren Zeitpunkt$T$. Wie Sie wahrscheinlich wissen, hat Feynman herausgefunden, dass diese Amplitude lautet:

$\langle x'|e^{-\frac{i\hat{H}T}{\hbar}} |x \rangle \sim \int \mathcal{D}[x]e^{\frac{iS[x](X,X',T)}{\hbar}}$

In dieser Formel$x(t)$ist jeder dynamische Pfad, der von geht$X$Zu$X'$in einer Zeit$T$Und$S[x](X,X',T)$ist die Wirkungsweise dieses Weges im Sinne der Lagrange-Mechanik.

Wenn wir diese Pfadgeschichte für einen Moment vergessen und uns das Pfadintegral als einfaches Wellenpaket mit einer nichttrivialen Phase vorstellen$S$dann sehen wir, dass der Integrand eine Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen mit einer Frequenz ist, die umgekehrt proportional zu ist$\hbar$.

Wenn Sie sich erinnern, dass z

$\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x+y}{2} \right)\cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

Wir sehen, dass eine ideal konstruktive Summierung der Harmonischen nur dann auftritt, wenn$x = y$

An der Grenze$\hbar \rightarrow 0$, die effektive Frequenz im Pfadintegral geht gegen unendlich und alle Interferenzen sind destruktiv, mit Ausnahme von zwei beliebigen Pfaden$x_1(t)$Und$x_2(t)$so dass$S[x_1](X,X',T)\sim S[x_2](X,X',T)$. Im Allgemeinen gilt dies genau dann, wenn$x_1$Und$x_2$sind benachbarte Pfade und wenn$S$erreicht ein Extremum bei$x_1$.

Am Ende des Tages im Limit$\hbar \rightarrow 0$oder eher$S/\hbar \rightarrow \infty$, die Wahrscheinlichkeitsamplitude$\langle x'|e^{-\frac{i\hat{H}T}{\hbar}} |x \rangle$wird von einem höchstwahrscheinlichen Pfad dominiert$x_1(t)$und eine "Röhre von benachbarten Pfaden zu$x_1$".

Übrigens der Weg$x_1(t)$erfüllt das Prinzip der kleinsten Wirkung und diese "Röhre der wahrscheinlichsten Bahnen" beschreibt die klassische Flugbahn für ein ausgehendes Teilchen$X$Zu$X'$in einer bestimmten Zeit$T$mit einer Unsicherheitsbreite, deren typische Größe typische Größe ist, wird durch die De-Brooglie-Wellenlänge des Teilchens charakterisiert.