Warum gibt es kein eindeutiges "Rezept" für die Quantisierung einer klassischen Theorie?

1. Kehre die Last um : Warum sollte es ein einzigartiges Quantisierungsverfahren geben? Die klassische Theorie ist eine Grenze der Quantentheorie, warum sollte diese Grenze reversibel sein? Es ist, als würde man von der Thermodynamik verlangen, dass sie von einer Nulltemperaturgrenze (oder einer anderen) oder dem wiederherstellbar ist$\mathbb{R}^{6N}$Phasenraumdynamik von der thermodynamischen Grenze wiederherstellbar sein$N\to\infty$. Es gibt keinen Grund zu erwarten, dass die vollständige Theorie in einer ihrer Grenzen kodiert ist, tatsächlich keinen Grund für uns, die Existenz einer Quantisierungsmethode überhaupt zu erwarten , geschweige denn eine einzigartige.

2. Quantisierung wird verhindert : Eine "Quantisierung" soll eine Zuordnung von hermiteschen Operatoren auf einem Hilbert-Raum zu klassischen Observablen auf dem Phasenraum sein, also eine Abbildung$f(x,p)\mapsto \hat{f}$. Der Satz von Groenewold-van Hove besagt, dass es keine solche Abbildung gibt

   1. $f\mapsto \hat{f}$ist linear.
   2. $[\hat{f},\hat{g}] = \mathrm{i}\hbar\widehat{\{f,g\}}$gilt für alle Observablen$f,g$.
   3. Observablen, die mit allem pendeln, sind Vielfache der Identität, was bedeutet, dass die Darstellung der Algebra der Observablen irreduzibel ist.
   4. $p(\hat{f}) = \hat{p(f)}$für alle Polynome$p$,

   Das bedeutet, dass jedes Quantisierungsverfahren einige dieser Annahmen fallen lassen muss, und es reicht normalerweise nicht aus, nur die vierte fallen zu lassen. Die kanonische Quantisierung geht normalerweise davon aus, dass all dies sowieso funktioniert, und wenn es schief geht, wird es ad hoc behoben. Die Deformationsquantisierung lässt die vierte Eigenschaft fallen und macht die zweite nur bis zu Ordnungsbedingungen gültig$\hbar^2$, beschränkt die geometrische Quantisierung stattdessen die zulässigen Eingaben$f$zur Quantisierungskarte und lässt die vierte Eigenschaft fallen.

   Daher erhalten Sie natürlich unterschiedliche Quantisierungsmethoden, je nachdem, welche Annahmen Sie bereit sind zu opfern. Tatsächlich ist für keines der Quantisierungsverfahren bekannt, ob sie in einem ganz allgemeinen Rahmen "äquivalent" sind. Außerdem deckt dies noch nicht einmal ansatzweise alle möglichen "Quantisierungen" ab, da zB der Pfadintegralformalismus keine Abbildung ist$f\mapsto \hat{f}$. Leider ist nicht genau bekannt, ob es wirklich dem Operatorformalismus entspricht, aber die meisten bekannten Fälle scheinen sich nicht zwischen den beiden Formalismen zu unterscheiden. Für eine längere Diskussion dieses Punktes siehe diese Frage .

Zunächst sollte betont werden, dass unterschiedliche Quantisierungsansätze einer klassischen Theorie unterschiedliche Einsichten verleihen. Zweitens kann ein Quantisierungsverfahren für ein System gegenüber anderen besonders vorteilhaft sein, je nachdem, was man manifestieren möchte.

Dafür gibt es ein prototypisches Beispiel. Betrachten Sie zum Beispiel die Aktion einer klassischen Saite,

Selbst bei der kanonischen Quantisierung gibt es verschiedene Messgeräte, aus denen man wählen kann, die unterschiedliche Erkenntnisse bieten. Mit dem Lichtkegel-Messgerät gelangt man am schnellsten zum Spektrum der Saite, aber die Kovarianz der Theorie zeigt sich mit dem konformen Messgerät. Der Lichtkegel ist in der Lage, den Diffeomorphismus und die Weyl-Redundanzen zu eliminieren.

Nun, ein zweiter Ansatz für die klassische Saite ist die BRST-Quantisierung. Man kann Zustände als BRST-exakt oder BRST-geschlossen im gleichen Sinne wie geschlossen oder exakt für Differentialformen klassifizieren und somit die BRST-Kohomologie analog zur de Rham-Kohomologie einführen.

Der physische Hilbert-Raum wird mit dieser BRST-Kohomologie identifiziert, und es ist ein Satz (bewiesen in 4.4 von Polchinski), der besagt:

Das heißt, der Hilbert-Raum stimmt mit dem überein, der aus der kanonischen Quantisierung sowie der Lichtkegel-Quantisierung erhalten wird. Obwohl das BRST-Verfahren einige Vorteile hat, bietet es somit eine äquivalente Beschreibung des Systems.

Was den Nachweis von Äquivalenzen in allgemeineren Fällen betrifft, hoffe ich, dass ein anderes Mitglied der SE Einblicke geben kann.

Die obigen Antworten sind großartig, aber sie gehen nicht auf Ihre letzte Frage ein, also hier.

$-$Können Spinnetzwerke zur Quantisierung von QCD verwendet werden?

$-$ Nur wenn es an die Schwerkraft gekoppelt ist.

Die Spinnetzwerkbasis ist unabzählbar . Der innere Produktraum ist somit nicht trennbar und kann kein wohldefiniertes quantenmechanisches System beschreiben.

Der schöne Grund, warum dies für die Gravitation funktioniert, liegt darin, dass der Kern der Diffeomorphismus-Einschränkung (geeignet als Operator auf dem Spin-Netzwerkraum quantisiert) von GR tatsächlich ein trennbarer Hilbert-Raum ist$\mathcal{K}$, der üblicherweise als kinematischer Hilbert-Raum von LQG bezeichnet wird. Mit anderen Worten, da LQG hintergrundunabhängig ist, ist die "übermäßige Größe" des inneren Produktraums des Spin-Netzwerks nur ein Maß, wobei der wahre Hilbert-Raum trennbar ist.

Dies funktioniert auch für Gravity +$SU(3)$Yang-Mills-System (QCD). Aber es funktioniert nicht für QCD im flachen Minkowski-Hintergrund. Hintergrundunabhängigkeit macht hier wirklich den Unterschied.