Verbindungen zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik [Duplikat]

Ich studiere jetzt seit einiger Zeit Quantenmechanik und klassische Mechanik, und ich habe immer noch nicht das Gefühl, dass ich die Motivation für einige unserer Entscheidungen in der Heisenberg-Mechanik vollständig verstehe. Zum Beispiel ist es eindeutig kein Zufall, dass die klassischen Observablen (Funktionen von Koordinaten und ihre konjugierten Impulse) und die Quantenobservablen (Hermitesche Operatoren) analoge Lie-Algebren mit der Poisson-Klammer bzw. dem Kommutator zu bilden scheinen. Aber warum das so ist, ist mir nicht klar. Ist in dieser Aussage eine tiefe Bedeutung enthalten? Oder weist es eher auf die Tatsache hin, dass wir uns bei der Konstruktion eines Quantenmodells des Universums maßgeblich von unserer Intuition und früheren Studien der klassischen Mechanik inspirieren ließen?

Was motiviert den Wechsel von klassischen Funktionen im Phasenraum zu hermiteschen Operatoren? Ich verstehe, warum Operatoren, die Observablen entsprechen, selbstadjungiert sein müssen (die Eigenwerte müssen real sein), aber ich verstehe nicht, was den Wechsel zu Operatoren im Allgemeinen motiviert. Warum sollten wir erwarten, dass Operatoren auf einem Hilbert-Raum physikalische Vorhersagen machen? Ein Teil meiner Verwirrung hier kann auch von der Tatsache herrühren, dass mir nicht ganz klar ist, was genau diese Operatoren in allen Fällen tun. Das verstehe ich zum Beispiel ⟨ ψ | x ^ | ψ ⟩ entspricht der erwarteten Position eines Teilchens im Zustand | ψ ⟩ , aber es ist viel weniger offensichtlich, was die x ^ Operator tut zu einem Zustand im Allgemeinen. In manchen Fällen (z J ± Wenn man den Drehimpuls betrachtet), ist klar, was der Operator mit einem Zustand macht (erhöht oder senkt Eigenzustände von J z ), aber in all diesen Fällen ist der Operator nicht hermitesch. Vielleicht ist die Antwort auf diese Frage einfach, dass das Modell genaue Vorhersagen liefert und wir es daher verwenden, aber ich frage mich, ob es einen besseren Weg gibt, über diese Dinge nachzudenken.

Ein Mathematiker namens Van der Waerden war ein Freund Heisenbergs und Wissenschaftshistoriker. Ich bin nicht in der Lage, eine Antwort zu schreiben, aber seine Arbeiten geben einen Bericht aus erster Hand über die Entwicklung und Motivation der Quantenmechanik
Haben Sie sich Schrödingers Papiere angesehen? Sie sind nicht leicht zu lesen, aber zumindest "Quantisierung als Eignenwertproblem" ist ziemlich geradlinig. In dieser Arbeit schlägt er die Schrödinger-Gleichung vor. Die Hauptmotivation scheint zu sein, dass das Eigenwertproblem eine explizite Quantisierungsbedingung ersetzt. Angesichts der damaligen Verwirrung ist es wahrscheinlich, dass die Begründer der Quantenmechanik ihre Motivation aus vielen verschiedenen Arten von Argumenten schöpften.
Wenn Sie einige nicht kommutative Merkmale wollen (die nichts anderes als Kontrafaktuale sind, wie wir es im Double-Split-Experiment von Young sehen), müssen Sie Observables als Operatoren sehen.
Warum hast du die Frage nicht beantwortet? Es ist eine schöne Frage. Tatsächlich habe ich, wie Sie sagen, das Problem kennengelernt, die Eigenwerte und Eigenzustände einer Matrix zu finden, um diskrete Werte für physikalische Größen zu behandeln.
verwandt: physical.stackexchange.com/q/46015 und Links darin
Ich denke, es gibt keine eindeutige Antwort auf Ihre tiefe Warum-Frage. Ich frage mich, wie groß die Verwirrung und der Mut früher Forscher wie Schrödinger, Dirac.
Der Link von @glance ist sehr relevant, insbesondere die Antwort von Urs Schreiber . Tatsächlich erklärt die Antwort perfekt , warum Hamiltonsche Mechanik und Quantenmechanik algebraisch so ähnlich aussehen, also I VTC als Duplikat.
glauben, dass klassische Metaphern/Verbindungen/Modelle, die mit QM übereinstimmen, bis heute nicht vollständig erforscht/erforscht/analysiert/gewürdigt wurden. siehe zB Chat, Spielzeugmodelle von QM

Antworten (1)

Du fragst:

"Enthält diese Aussage eine tiefe Bedeutung? Oder weist sie eher darauf hin, dass wir uns bei der Konstruktion eines Quantenmodells des Universums wesentlich von unserer Intuition und früheren Studien der klassischen Mechanik inspirieren ließen?"

Beide Varianten sind wahr.

Bei der Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie ging Einstein nicht von Null aus, sondern von der klassischen Mechanik, ergänzt um die Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem gleich ist. Wir haben die Konzepte von Raum, Zeit, Geschwindigkeit usw. nicht erfunden. Sie waren bereits in Gebrauch.

Mit der QM haben wir Ort, Impuls, Drehimpuls usw. nicht erfunden. Wir sind nur zu dem Schluss gekommen, dass sich einige Objekte wie Wellen verhalten, und zu ihrer Beschreibung brauchen wir eine Gleichung, die die Entwicklung einer Welle beschreibt (eigentlich die Die Schrödinger-Gleichung ähnelt eher der Wärmegleichung, nur der Diffusionskoeffizient ist imaginär - diese Dinge wurden im Zusammenhang mit anderen Fragen diskutiert). Außerdem sind wir zu dem Schluss gekommen, dass einige physikalische Eigenschaften keine kontinuierlichen Werte zulassen, sondern diskrete Werte.

Also entwickelten wir die QM, indem wir Modifikationen in die klassische Mechanik einführten – das Thomson-Atom, das Bohr-Atommodell, das heutige Modell, das auf der Schrödinger-Gleichung basiert.

Über Betreiber:

Heisenberg entwickelte zuerst einen Matrizenkalkül. Warum Matrizen? Erstens, weil einige physikalische Größen diskrete Werte haben, die aus einem Problem mit diskreten Eigenfunktionen und Eigenwerten erhalten werden können (Sie sollten etwas über die Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen von Matrizen gelernt haben). So kann eine Größe, zB Projektion des Drehimpulses, einen gewissen Wert haben q , wenn sich das System in einer bestimmten Situation befindet (Zustand). Übrigens, als Schrödinger seine Gleichung entwickelte, hielt er an der Idee der statistischen Natur der QM fest. Somit erlaubt ein Quantenzustand für einige Observable einen genauen Wert, aber für andere Observable (die Position sein können) nur statistische Vorhersagen.

Die Verallgemeinerung auf Observablen mit einem kontinuierlichen Wertespektrum erfolgt unmittelbar.

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