Quantensysteme ohne klassisches Analogon? [geschlossen]

1) Es stimmt, dass nicht alle Quantensysteme klassische Analoga haben. ZB wenn wir eine Quantenalgebra haben$({\cal A},\ast)$von Laurent-Polynomen in einer Unbestimmten $\hbar$, und mit einem assoziativen Sternprodukt ausgestattet$\ast$, ist es möglicherweise nicht sinnvoll, die klassische Grenze zu nehmen$\hbar\to 0$.

2a) Auf der verlinkten Seite macht Dirac jedoch einen etwas anderen Punkt, der kanonische Orts- und Impulskoordinaten betrifft, vgl. unten fettgedruckte Auszüge.

[...] dynamische Systeme, die ein klassisches Analogon haben und die durch kanonische Koordinaten und Impulse beschreibbar sind . Dies schließt nicht alle möglichen Systeme in der Quantenmechanik ein. [...]

[...] in der Quantenmechanik ein System haben, für das es keine kanonischen Koordinaten und Impulse gibt, und wir PBs trotzdem eine Bedeutung geben können Ein solches System wäre eines ohne ein klassisches analoges [...]

2b) Daran erinnern, dass die ersten paar Einträge im Wörterbuch zwischen

$$\tag{0} \text{Quantum Mechanics}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Classical Mechanics}$$

lesen

$$\tag{1} \text{Operator}\quad\hat{f}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Function/Symbol}\quad f,$$

$$\tag{2} \text{Commutator}\quad \frac{1}{i\hbar}[\hat{f},\hat{g}] \quad\longleftrightarrow\quad\text{Poisson bracket}\quad \{f,g\}_{PB} ,$$

$$\text{Heisenberg's EOMs}\quad\quad\quad\quad\quad\quad \text{Hamilton's EOMs}$$ $$\tag{3} \frac{d\hat{f}}{dt}~=~\frac{1}{i\hbar}[\hat{f},\hat{H}]+ \frac{\partial\hat{f}}{\partial t}\quad\longleftrightarrow\quad \frac{df}{dt}~=~\{f,H\}_{PB}+ \frac{\partial f}{\partial t} .$$ Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

2c) In einer modernen Sprache sagt Dirac im Wesentlichen (in den obigen Zitaten), dass, wenn wir eine Quantentheorie dequantisieren, die resultierende (möglicherweise entartete) Poisson-Mannigfaltigkeit auf der klassischen Seite möglicherweise keine symplektische Mannigfaltigkeit oder sogar eine reguläre ist$^1$Poisson-Mannigfaltigkeit.

Erinnern Sie sich, dass der Satz von Darboux, der die Existenz von Darboux/kanonischen Koordinaten (in jeweils ausreichend kleinen Nachbarschaften) garantiert, nicht für (Singular$^2$) Poisson-Mannigfaltigkeiten.

2d) Ein einfaches Gegenbeispiel ist die$su(2)$Lügen-Algebra

$$\tag{4} [\hat{J}^I,\hat{J}^J] ~=~i\hbar\varepsilon_{IJK}\hat{J}^K$$

von Drehimpulsoperatoren, was zu einer singulären Poisson-Mannigfaltigkeit führt$\mathbb{R}^3$mit Poisson-Klammer

$$\tag{5} \{J^I,J^J\}_{PB} ~=~\varepsilon_{IJK}J^K.$$

Die symplektischen Blätter sind konzentrische 2-Kugeln. Das symplektische Blatt$\{0\}$am Ursprung ist singulär. Es gibt keine Darboux/kanonischen Koordinaten in einer Umgebung des Ursprungs.

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$^1$Ein regulärer Poisson-Tensor hat einen konstanten Rang. Ein singulärer Poisson-Tensor kann Rangsprünge haben. Eine Poisson-Struktur maximalen Ranges ist eine symplektische Struktur.

$^2$Es gibt eine verallgemeinerte Version des Satzes von Darboux für die reguläre Poisson-Mannigfaltigkeit, wobei Darboux-Nachbarschaften Positions-, Impuls- und Casimir-Koordinaten enthalten.