Ist die Quantisierung des harmonischen Oszillators eindeutig?

Um es etwas besser auszudrücken:

Gibt es mehr als ein Quantensystem, das im klassischen harmonischen Oszillator im klassischen Limes endet?

Ich interessiere mich speziell, aber nicht nur, für eine Ausarbeitung in Bezug auf die Deformationsquantisierung.

Meinen Sie mit Deformationsquantisierung eine andere Art (parametrisierte?) Homomorphie?
@AntillarMaximus Vergleiche meine Antwort hier: physical.stackexchange.com/a/7591/667

Antworten (3)

Für jeden klassischen Hamiltonoperator H ( p , q ) es gibt unendlich viele quantisierte Systeme, die sich im klassischen Limes darauf reduzieren.

Der Grund ist das Hinzufügen zu H ( p , q ) eine beliebige Anzahl von Ausdrücken in p und q Wo mindestens ein Faktor ein Kommutator ist, ändert sich nicht das klassische Syatem, sondern die Quantenversion. Nehmen wir konkret z. H ' = H ( p , q ) + EIN ( p , q ) ∗ [ p , q ] 2 EIN ( p , q ) für einen beliebigen Ausdruck EIN ( p , q ) .

Dies gilt für Systeme, in denen p und q sind kanonisch konjugierte Variablen. Es ist leicht, das Argument auf beliebige Quantensysteme zu verallgemeinern.

Zusamenfassend:

Die Quantisierung einzelner Systeme ist ein schlecht definierter Prozess.

Die geometrische Quantisierung ist besser definiert, da sie nicht ein bestimmtes System, sondern eine bestimmte Gruppe von Symmetrien effektiv quantisiert. Im obigen Fall zeigt es, wie man von der Klassik weggeht p und q (dh von der klassischen Heisenberg-Lie-Algebra mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt) zur Quantenversion, aber nicht, wie man von einem bestimmten klassischen Hamilton-Operator (und damit einem bestimmten klassischen System) zu seiner Quantisierung kommt.

womit?? Es ergibt eine Quantenobservable für jeden klassischen Ausdruck in den Generatoren der Gruppe. Aber unterschiedliche Ausdrücke für dieselbe klassische Funktion von p und q führen zu unterschiedlichen Quantisierungen – dies ist die Ordnungsmehrdeutigkeit, die die Quantisierung klassischer Systeme immer geplagt hat.
Entschuldigung, ich hatte Probleme beim Posten/Bearbeiten. "aber nicht, wie man von einem bestimmten klassischen Hamiltonian (und damit einem bestimmten klassischen System) zu seiner Quantisierung kommt." Dies ist nicht ganz richtig, da die geometrische Quantisierung einen Quantenoperator für jede klassische Observable liefert f , die als fungiert ψ → − ich ℏ ∇ X f ψ + f ψ . Im speziellen Beispiel des harmonischen Oszillators erhält man durch diese Gleichung den Operator H = ℏ ω a \deger a - die Quanten-Eins ohne die Nullpunktsenergie (die der sogenannten metaplektischen Korrektur unterliegt).
Natürlich kann man sich ein Rezept ausdenken und das „die“ Quantisierung nennen. Aber es hat nur kanonische Eigenschaften für f in der Lie-Algebra, auf der die Konstruktion basiert. Wenn Sie weitere Diskussionen wünschen, geben Sie bitte eine Online-Referenz an, damit wir eine gemeinsame Basis haben.
Die Standardreferenz ist "Woodhouse: geometrische Quantisierung", Wikipedia und nlab haben einige Fakten dazu online unter ncatlab.org/nlab/show/geometric+quantization . Wie Sie sehen können, ergibt der erste Schritt der geometrischen Quantisierung (Vorquantisierung genannt) für jeden einen Quantenoperator! klassisch beobachtbar. Aber der konstruierte Hilbertraum ist zu groß (Wellenfunktionen hängen ab von q und p gleichzeitig), so dass man eine „Polarisation“ und später eine metaplektische Korrektur einführen muss. Da dies auf geometrische Weise erfolgt (Mannigfaltigkeiten, ...), sind die Koordinaten q und p spielt keine Rolle.
Woodhouse habe ich nicht, und nlab ist für meinen Geschmack zu abstrakt. Ich denke, die Mehrdeutigkeit der Reihenfolge zeigt sich im Fehlen einer kanonischen Polarisierung.
Es ist 10 Jahre her, also werde ich diese Antwort jetzt akzeptieren :)

1) Es gibt viele inäquivalente Quantensysteme, die denselben klassischen Grenzwert haben ℏ → 0 .

2) Nehmen wir zum Beispiel der Einfachheit halber an, dass das Quantensystem durch ein einzelnes Paar von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beschrieben wird,

[ a ^ , a ^ † ]   =   ℏ 1 , a ^   =   m ω 2 ( q ^ + ich p ^ m ω ) .
Der standardmäßige harmonische Quantenoszillator Hamiltonian las
H ^   =   ω ( a ^ † a ^ + ℏ 2 ) .
Wir können zB einen beliebigen Begriff des Formulars hinzufügen ℏ P ( a ^ † a ^ , ℏ ) (wo P ein Polynom ist) zum Hamiltonoperator H ^ ohne die klassische Grenze zu berühren. Insbesondere können wir den Energieterm des Nullpunktes verschieben.

1. Ihre Formel verschiebt nicht nur die Nullpunktsenergie des Systems, sondern erzeugt eine nichtlineare Transformation des Spektrums! - 2. Man kann sogar einen beliebigen Begriff des Formulars hinzufügen ℏ P ( a ˆ ∗ a ˆ , a + a ∗ , ℏ ) , wodurch beliebige anharmonische Oszillatoren erzeugt werden, und sie reduzieren sich klassischerweise immer noch auf den harmonischen Oszillator. Schreiben ℏ Als Kommutator wird dies im Wesentlichen zur Aussage in meiner eigenen Antwort.
Eine konstante Verschiebung (proportional zu ℏ ) im Nullpunktenergieterm entspricht einem konstanten Polynom (nullter Ordnung). P . Tatsächlich kann man dem Hamiltonoperator allgemeinere Polynome hinzufügen als in der Antwort (v2) angegeben.

Dies ist keine vollständige Antwort auf Ihre Frage, aber die Quantisierung des harmonischen Oszillators bedeutet die Quantisierung des komplexen projektiven Raums C P n (als reduzierter Phasenraum des Systems).

Im Zusammenhang mit der Deformationsquantisierung können Sie sich dann den Artikel A Remark on Nonequivalent Star Products via Reduction for CP^n von Stefan Waldmann ansehen, der hier auf Arxiv verfügbar ist , wo inäquivalente Sternprodukte von C P n sind besprochen.

Link auch verfügbar unter arxiv.org/abs/math/9802078
Ist die Quantisierung des harmonischen Oszillators eindeutig?
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