Definition von "Quantisierung"

Kann mir jemand erklären, was "quantisieren" im folgenden Zusammenhang bedeutet?

Quantisieren Sie den harmonischen 1-D-Oszillator für die

H   =   P 2 2 M + 1 2 M ω 2 X 2 .

Ich verstehe, dass die Energieniveaus eines QHO quantisiert sind. Aber hier wird es als Verb verwendet... Sind die Energieniveaus nicht natürlich quantisiert?

Haben Sie noch nichts von Operatoren und ihrer Funktionsweise in der Quantenmechanik gehört?

Antworten (2)

Quantisierung ist ein Prozess der Konstruktion einer Quanten-(Feld-)Theorie aus einer klassischen (Feld-)Theorie.

In Ihrem Fall haben Sie einen klassischen Hamilton-Operator (der die Dynamik Ihres klassischen Systems, in Ihrem Fall des harmonischen Oszillators, regelt), die zugrunde liegende klassische Theorie ist die Hamilton-Mechanik. Wenn Sie sagen, zu quantisieren H man meint, die entsprechende Observable in der entsprechenden Quantentheorie (in Ihrem Fall übliche nichtrelativistische Quantenmechanik) zu finden. In Ihrem Fall wird dies der Hamiltonoperator des Systems sein, der insbesondere die Dynamik des entsprechenden Quantensystems bestimmt.

Es gibt mehrere Ansätze zur Quantisierung. Die einfachste heißt kanonische Quantisierung, bei der nur die Positionsvariable Q (oder X in Ihrer Notation) wird durch den kanonischen Positionsoperator ersetzt Q ^ und der Schwung P durch den Impulsoperator P ^ .

In Ihrem Fall die quantisierte Version von H , dh das Quanten-Hamiltonion wäre:

H ^ = P ^ 2 2 M + 1 2 M ω 2 Q ^ 2

Meiner Meinung nach ist nicht vollständig verstanden, was Quantisierung wirklich bedeutet, es ist oft nur eine mehr oder weniger handwinkende Regel, um aus einer klassischen eine Quantentheorie zu konstruieren. Es gibt jedoch ausgefeiltere Ansätze zur Quantisierung, die versuchen, die Dinge konzeptionell klarer zu machen (aber mathematisch sehr fortgeschritten sind).

Man kann sich fragen, warum Menschen Theorien quantisieren und keine Quantentheorien konstruieren, ohne sich auf die klassische zu beziehen.

Ich denke, dafür gibt es mehrere Gründe:

  • Historisch gesehen war es sehr erfolgreich, mit einem klassischen Bild zu beginnen, um eine gute Theorie der Quantenwelt zu erhalten
  • Es gibt uns etwas, das es einfacher macht, die Quantenobservablen zu interpretieren
  • Wenn eine Quantentheorie durch Quantisierung einer klassischen Theorie auf wohldefinierte Weise entstanden wäre, hätte man Grund zu der Hoffnung, dass es einfacher wäre, die klassische Grenze zu verstehen (dh wie die klassische Welt aus der Quantentheorie hervorgeht).

Einige Leute würden sagen, dass es besser ist, eine Quantentheorie zu formulieren, ohne sie aus einer klassischen Theorie aufzubauen (z. B. in der axiomatischen Quantenfeldtheorie). Ich denke jedoch, dass es akzeptiert wird, dass die Quantisierung zumindest eine sehr nützliche Heuristik ist, um eine Quantentheorie zu entdecken, oder weniger ehrgeizig, um zu sehen, wie bestimmte Observablen (z. B. Ihr Quanten-Hamiltonian) aussehen werden.

Den Ansatz notieren Sie, indem Sie x durch ersetzen X ^ Und P von P ^ wird üblicherweise als erste Quantisierung bezeichnet. Die kanonische Quantisierung (zweite Quantisierung) bezieht sich normalerweise auf den Ansatz mit Kommutator.
@hwlau Beides ist wahr. Ich habe in diesem Zusammenhang den Begriff "kanonische Quantisierung" verwendet, um sie von fortgeschritteneren Methoden wie der geometrischen oder Deformationsquantisierung zu unterscheiden. Alle drei Verfahren sind dabei unterschiedliche Arten von "ersten" Quantisierungen. Siehe planetmath.org/encyclopedia/OperatorOrderingProblem.html für eine Referenz meiner Verwendung des Begriffs kanonische Quantisierung.

„Quantisieren“ ist für mich ein Verb, das sich auf die Umwandlung des klassischen in das Quantenbild bezieht. Der Hamiltonoperator, den Sie aufgeschrieben haben, ist schließlich der klassische, der nicht „quantisiert“ ist. Sobald Sie es gelöst haben, indem Sie (1) Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren aufschreiben, (2) feststellen, dass nur bestimmte Wellenfunktionen erlaubt sind, (3) die Energieniveaus mit einem Computer numerisch ausgewertet haben, (4) anderes Quanten-Kung-Fu verwendet haben, haben Sie Ich habe es "quantisiert". Wahrscheinlich haben Sie es quantisiert, sobald Sie die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren aufgeschrieben haben.

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