Positionserwartungswert des harmonischen Oszillators

Glückwunsch! Sie haben herausgefunden, dass die Zeitabhängigkeit der Eigenzustände des harmonischen Oszillators nicht dem klassischen Oszillator ähnelt. Wenn Sie einen Erwartungswert ungleich Null wünschen, sollten Sie das System in einer Überlagerung benachbarter Eigenzustände vorbereiten, z

$$|\psi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1|1\rangle.$$ Das ist eine Folge von$x$es hängt davon ab$a + a^\dagger$.

So oder so, wenn Sie den Zustand wollen, der wirklich dem klassischen Oszillator ähnelt, sollten Sie sich die kohärenten Zustände ansehen . Es gibt viele Möglichkeiten, sie zu definieren, ein Beispiel, das ihre Ähnlichkeit mit dem klassischen Oszillator deutlich macht, ist die Verschiebung um eine endliche Distanz$d$der Grundzustand:

$$|\psi\rangle = \exp \left (-\frac{i p d}{\hbar} \right )|0\rangle.$$ Unter Verwendung des Heisenberg-Bildes, wo der zeitabhängige Operator$x$Ist $$x(t) = x(0) \cos \omega t+\frac{p(0)}{m\omega} \sin \omega t$$ Und$|\psi\rangle$Termingerecht fixiert wird, können Sie den Erwartungswert nachweisen$x(t)$entwickelt sich wie ein klassischer Oszillator der Amplitude$d$: $$\langle x(t)\rangle = \langle \psi |x(t)|\psi\rangle = d \cos \omega t.$$

Der Erwartungswert ist Null, da eine Symmetrie dazwischen besteht$x$Und$-x$. Wenn Sie sich die Form der Eigenfunktionen unten ansehen, werden Sie sehen, dass beides der Fall ist$\psi_0$Und$\psi_2$sind symmetrisch um die$y$-Achse. Intuitiv bedeutet dies, dass, wenn Sie den Erwartungswert von einem von ihnen oder ihrer Summe nehmen (ihre Summe wird eine nicht triviale Zeitentwicklung haben, aber Sie können sich davon überzeugen, dass die Symmetrie erhalten bleibt - es keinen Grund dafür gibt, einen zu bevorzugen Seite über die andere), den Erwartungswert von$x$wird Null sein.

Im Allgemeinen neigen Eigenzustände des harmonischen Oszillators nicht dazu, das Schwingungsverhalten zu haben, das man von der klassischen Mechanik erwarten könnte. Dieses Merkmal ist jedoch für kohärente Zustände vorhanden .

Denken Sie zunächst daran, dass die$\psi_n(x)$sind zeitunabhängige Lösungen, also gibt es keinen Grund, dies zu vermuten$\langle x\rangle$sollte sich da eindeutig wie ein klassischer Oszillator verhalten$\langle n\vert x\vert n\rangle=0$. Nun könnte es passieren, dass Ihr Zustand kein Energieeigenzustand ist, so dass die Wahrscheinlichkeitsdichte$\vert \Psi(x,t)\vert^2$ist zeitabhängig, aber das impliziert das nicht$\langle x\rangle$wäre ebenfalls zeitabhängig: Stellen Sie sich einen Eisportionierer vor, der symmetrisch schmilzt: Die Massenverteilung könnte sich mit der Zeit ändern, aber die durchschnittliche Position der Eiscreme könnte konstant bleiben.

Wie andere angedeutet haben, kohärente Zustände, die spezifische lineare Kombinationen sind$\psi_n(x)$alles enthalten$n$Werte, haben Durchschnitt$\langle x\rangle$das geht wie ein Kosinus: Einzelheiten finden Sie in einer Antwort auf diese Frage .

In Ihrem speziellen Fall$\langle x\rangle=0$durch Symmetrie. Seit$\psi_n(x)$ist eine gerade Funktion für alle gerade$n$'s und eine ungerade Funktion für alle ungeraden$n$'s, haben Sie im Grunde

$$\begin{align} \langle x\rangle &= \int dx \left(a^*\psi_0(x)+b^*e^{2i\omega t}\psi_2(x)\right) x \left(a \psi_0(x)+b e^{-2i\omega t}\psi_2(x)\right)\, ,\\ &= aa^*\int dx \psi_0(x)^2 x + (a^* be^{-2i\omega t}+ab^*e^{2i\omega t}) \int dx \psi_0(x)\psi_2(x)\\ & \qquad +bb^* \int dx \psi_2(x)^2 x \tag{1} \end{align}$$ In (1) ist jede Funktion unter einem Integral ungerade, da die Produkte$\psi_0(x)^2, \psi_2(x)^2$Und$\psi_0(x)\psi_2(x)$sind gerade, aber multipliziert mit$x$.

Bei den Limits muss man hier etwas aufpassen, da sie es sind$\pm\infty$, sondern der Exponentialfaktor$e^{-\lambda x^2/2}$das eingeht

$$\psi_n(x)=H_n(\sqrt{\lambda}x)e^{-\lambda x^2/2}$$ wird die Integrale konvergieren lassen und Sie haben eine ungerade Funktion, die zwischen symmetrischen Grenzen integriert ist, was ergibt$0$nach Parität.