Warum gilt der Virialsatz der Quantenmechanik für den Quantenoszillator, aber nicht für den unendlichen quadratischen Brunnen?

Warum gilt der Virialsatz der Quantenmechanik für den Quantenoszillator, aber nicht für den unendlichen quadratischen Brunnen? Der Beweis verwendet den Satz von Ehrenfest, also habe ich mich gefragt, ob es etwas mit den Randbedingungen zu tun hat und wie sich das Teilchen nicht klassisch verhält. Der Satz lautet wie folgt:

Stellen Sie sich ein Quantensystem vor, in dem ψ stellt einen stationären Zustand dar, der erfüllt D < X ^ P ^ > / D T = 0 . Dann,

2 < T ^ >=< X ^ D v ^ D X > .

Ich bin mir ziemlich sicher, dass der Virialsatz nur für zentrale Kraftpotentiale gilt, die eine Potenzgesetzabhängigkeit vom Radius haben

Antworten (1)

  1. Wir berechnen

    0   =   D D T ⟨ ψ | X ^ P ^ | ψ ⟩   =   1 ich ℏ ⟨ ψ | [ X ^ P ^ , H ^ ] | ψ ⟩
      =   1 ich ℏ ⟨ ψ | X ^ [ P ^ , v ^ ] − [ T ^ , X ^ ] P ^ | ψ ⟩   =   2 ⟨ ψ | T ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | X ^ v ^ ' ( X ^ ) | ψ ⟩ .

  2. OP möchte das Potenzial des unendlichen quadratischen Brunnens berücksichtigen .

  3. Zunächst mag es verlockend sein, das Box-Intervall zu betrachten [ − A , A ] als voller Positionsraum, und setzen Sie das Potenzial v = 0 überall auf null. Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass die Dynamik die Randbedingungen nicht respektiert ψ ( X = ± A , T ) = 0 .

  4. Wir wollen, dass die Randbedingungen Folgen des Potentials sind. Daher sollte das Potential nicht trivial sein.

  5. Das Problem ist also, dass die Ableitung v ' ( X ) an den Endpunkten des Boxintervalls nicht wohldefiniert ist [ − A , A ] .

  6. Eine mögliche Regularisierung besteht darin, das endliche quadratische Wannenpotential zu betrachten

    v ( X ) = v 0   θ ( | X | − A ) , v 0   <   ∞ ,
    auf der reellen Achse R , wo der Satz gilt. Dann die Ableitung v ' ( X ) ist eine Dirac-Delta-Verteilung. Betrachten Sie als nächstes die Grenze v 0 → ∞ .

Warum gilt der Virialsatz der Quantenmechanik für den Quantenoszillator, aber nicht für den unendlichen quadratischen Brunnen?
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