Frage zum Zustandsvektor des Quantenharmonischen Oszillators

Ja, alles, was Sie geschrieben haben, ist korrekt, obwohl es vielleicht besser ist, die Bedeutung einiger Definitionen zu klären.

Die "Wellenfunktionen" des harmonischen Quantenoszillators sind nichts anderes als die Darstellungen in der Positionsbasis der Eigenzustände des dem harmonischen Oszillator zugeordneten Hamilton-Oszillators. Nennen wir letzteres als$H_{HO}$. Dann sind seine Eigenzustände$|\Psi_n\rangle$, mit$H_{HO}|\Psi_n\rangle=E_n |\Psi_n\rangle$, Wo$E_n$ist die Energie der$n$Stufe. Als nächstes fügen wir eine Auflösung der Identität ein, um die Positionsdarstellung von zu finden$|\Psi_n\rangle$:

$$|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi_n(x),$$ Wo$\psi_n(x)=\langle x|\Psi_n\rangle$sind die Wellenfunktionen und haben die von Ihrem Lehrbuch vorgegebene Form. Beachten Sie, dass wir das Integral, das Sie in die zweite Formel geschrieben haben, wiederhergestellt haben.

Schließlich muss der Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt kein Eigenzustand von sein$H_{HO}$, kann aber jeder Zustand unseres Hilbert-Raums sein. Dies ist das, was Sie als "Zustandsvektor" bezeichnen.$|\Psi\rangle$. Wie können wir es ausdrücken? Nun, wir können die Basiszerlegung wählen, die wir bevorzugen, zum Beispiel:

$$|\Psi\rangle=\sum_n c_n |\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi(x),$$ Wo$c_n=\langle \Psi_n|\Psi\rangle$Und$\psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$. Beide sind vollkommen äquivalente Darstellungen der gleichen "physischen Realität", die von beschrieben wird$|\Psi\rangle$, und Sie können je nach dem Problem, das Sie angehen möchten, eine davon auswählen.