Lassenα ∈ C
, und lass| n ⟩
sei der harmonische Oszillatorzustand mit Energie( n +12) ℏω
. Beit = 0
, der kohärente Zustand| α ( 0 ) ⟩
ist definiert durch
| α ( 0 ) ⟩ =e− | a|2/ 2(∑n = 0∞aNn !−−√| n ⟩ )(1)
Was ist| α ( t ) ⟩
, der kohärente Zustand zur ZeitT
? Beginnen Sie mit (1). Seit| n ⟩
ist ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators HamiltonianH^= (A^†A^+12) ℏω
mit Eigenwert( n +12) ℏ, _
die zeitliche Entwicklung von| n ⟩
ist einfach| n ( t ) ⟩ =e− ich ( n +12) ω t| n ⟩
und somit
| α ( t ) ⟩ =e−| α |2/ 2(∑n = 0∞aNn !−−√e− ich ( n +12) ω t| n ⟩ ) .
Es ist leicht, das zu zeigen
| α ( t ) ⟩
ist normalisiert.
Das müssen wir jetzt erst zeigenein | α ( t ) ⟩ = αeich ℏω t| α ( t ) ⟩
. Erinnere dich daranA^| n ⟩ =N−−√| n − 1 ⟩ .
\ Dann seitA^
ist linear,
A^| α ( t ) ⟩====e−| α |2/ 2(∑n = 0∞aNn !−−√e− ich ( n +12) ω tA^| n ⟩ ) ,e−| α |2/ 2(∑n = 0∞aNn !−−√e− ich ( n +12) ω tN−−√| n − 1 ⟩ ) ,e−| α |2/ 2(∑n = 0∞aN( n − 1 ) !−−−−−−√e− ich ( n +12) ω t| n − 1 ⟩ ) ,ae− ich ω te−| α |2/ 2(∑n = 0∞an − 1( n − 1 ) !−−−−−−√e− ich ( n − 1 +12) ω t| n − 1 ⟩ ) .
Die Summe beginnt richtig bei
n = 1
seit der
n = 0
Begriff existiert nicht. Somit Einstellung
m = n − 1 ,
wir können diese Summe in Bezug auf umschreiben
m ,
mit
M
beginnt um
m = 0.
Somit
A^| α ( t ) ⟩==ae− ich ω t[e−| α |2/ 2(∑m = 0∞aMm !−−√e− ich ( m +12) ω t| m ⟩ ) ]ae− ich ω t| α ( t ) ⟩ .
Ein nützliches Nebenergebnis, das unmittelbar aus oben folgt, ist
[A^| α ( t ) ⟩ ]†==⟨ α ( t ) |A^†[ αe− ich ω t| α ( t ) ⟩ ]†=a∗eich ω t⟨ α ( t ) |
Jetzt⟨P^( t ) ⟩
Und⟨X^( t ) ⟩
für| α ( t ) ⟩
. Ausgehend von den Definitionen
A^=mω _2 ℏ−−−−√(X^+ichmω _P^) ,A^†=mω _2 ℏ−−−−√(X^−ichmω _P^) ,
wir haben
X^=ℏ2 mω _−−−−−√(A^†+A^) ,P^= ichmωℏ _ _2−−−−−√(A^†−A^) ,
und somit
⟨ x ( t ) ⟩===ℏ2 mω _−−−−−√[ ⟨ α ( t ) |A^†| α ( t ) ⟩ + ⟨ α ( t ) |A^| α ( t ) ⟩ ],ℏ2 mω _−−−−−√[a∗eich ω t+ ae− ich ω t] ⟨ α ( t )| α ( t ) ⟩ℏ2 mω _−−−−−√[a∗eich ω t+ ae− ich ω t] ,
was real ist, wie erwartet. Wir können das schriftlich bereinigen
α = | α |eich θ
erhalten%
⟨ x ( t ) ⟩ =2 ℏmω _−−−−√| α | cos( ω t − θ )(2)
Ebenfalls,
⟨ p ( t ) ⟩===ichmωℏ _ _2−−−−−√[ ⟨ α ( t ) |A^†| α ( t ) ⟩ − ⟨ α ( t ) |A^| α ( t ) ⟩ ]ichmωℏ _ _2−−−−−√[a∗eich ω t− αe− ich ω t] ⟨ α ( t )| α ( t ) ⟩−2 m ω ℏ−−−−−√| α | Sünde( ω t − θ )(3)
was wieder echt ist.
In Ihrem speziellen Fall beginnen Sie mit einem kohärenten Zustand, für den att = 0
, wir haben
⟨ x ( 0 ) ⟩ = b2–√X0,⟨ p ( 0 ) ⟩ = 0
dies impliziert also aus (2) und (3) ausgewertet bei
t = 0
Das
B2–√X0=2 ℏmω _−−−−√| α | cos( θ ),0 =2 m ω ℏ−−−−−√| α | Sünde( θ )
Vergleich mit deinen Ausgangsbedingungen ergibt
θ = 0
Und
B2–√X0=2 ℏmω _−−−√a
mit
a
real.
Endlich,X^2
UndP^2.
AusX^
UndP^,
wir finden
X^2P^2====ℏ2 mω _(A^†+A^)2=ℏ2 mω _((A^†)2+A^†A^+A^A^†+(A^)2) ,ℏ2 mω _((A^†)2+ 2A^†A^+ 1 +(A^)2) ,−mωℏ _ _2(A^−A^†)2= −mωℏ _ _2((A^†)2−A^†A^−A^A^†+(A^)2) ,−mωℏ _ _2((A^†)2− 2A^†A^− 1 +(A^)2) ,
Wo
A^A^†=A^A^†−A^†A^+A^†A^= [A^,A^†] +A^†A^= 1 +A^†A^
wurde verwendet. Daher,
⟨X2( t ) ⟩⟨P2( t ) ⟩=========ℏ2 mω _[ ⟨ α ( t ) |(A^†)2| α ( t ) ⟩ +2 ⟨ α ( t ) |A^†A^| α ( t ) ⟩+ 1 + ⟨ α ( t ) |A^2| α ( t ) ⟩ ] ,ℏ2 mω _[(a∗eich ω t)2+ 2a∗α + 1 +( ae− ich ω t)2],ℏ2 mω _[(a∗eich ω t+ ae− ich ω t)2+ 1 ] ,ℏ2 mω _[ 4| α |2cos2( ω t − θ ) + 1 ] .−mωℏ _ _2[ ⟨ α ( t ) |(A^†)2| α ( t ) ⟩ −2 ⟨ α ( t ) |A^†A^| α ( t ) ⟩− 1 + ⟨ α ( t ) |A^2| α ( t ) ⟩ ] ,−mωℏ _ _2[(a∗eich ω t)2− 2a∗α − 1 +( ae− ich ω t)2],−mωℏ _ _2[(a∗eich ω t− αe− ich ω t)2− 1 ] ,−mωℏ _ _2[ -4 _| α |2Sünde2( ω t − θ ) − 1 ],mωℏ _ _2[ 4| α |2Sünde2( ω t − θ ) + 1 ] .
Fabian
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Markus Mitchison
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Kosmas Zachos