Mehrdeutigkeiten bei der Bestellung von Operatoren

Die Ordnungsmehrdeutigkeit ist die Aussage – oder das „Problem“ – das für eine klassische Funktion$f(x,p)$, oder eine Funktion analoger Phasenraumvariablen, kann es mehrere Operatoren geben$\hat f(\hat x,\hat p)$die es darstellen. Insbesondere ist der Quanten-Hamilton-Operator nicht eindeutig durch die klassische Grenze bestimmt.

Diese Mehrdeutigkeit tritt auch dann auf, wenn wir verlangen, dass der einer reellen Funktion entsprechende Quantenoperator hermitesch und ist$x^2 p^2$ist die einfachste Demonstration dieses "ernsthafteren" Problems. Einerseits der hermitische Teil$\hat x^2 \hat p^2$ist

$$\hat x^2 \hat p^2 - [\hat x^2,\hat p^2]/2 = \hat x^2\hat p^2 -i\hbar (\hat x\hat p+\hat p\hat x)$$ wo ich deinen Kommutator benutzt habe.

Andererseits können wir das Produkt auch klassisch schreiben und die Hüte als hinzufügen$\hat x \hat p^2\hat x$was bereits hermitesch ist. Aber

$$\hat x \hat p^2\hat x = \hat x^2 \hat p^2+\hat x[\hat p^2,\hat x] = \hat x^2\hat p^2-2i\hbar\hat x\hat p$$ wo man sieht das die korrektur da anders ist $\hat x\hat p+\hat p\hat x$ist nicht ganz gleich $2\hat x\hat p$(es gibt noch einen, $c$-bewerteter Kommutator, durch den sie sich unterscheiden). Selbst wenn Sie also davon ausgehen, dass die hermiteschen Teile der Operatoren klassischen Funktionen "entsprechen", gibt es mehrere mögliche Operatoren, die die Antwort sein können. Das $x^2p^2$ist das einfachste Beispiel und die beiden Antworten, die wir erhalten haben, unterscheiden sich durch a $c$-Nummer. Für höhere Potenzen oder allgemeinere Funktionen können sich die möglichen Quantenoperatoren um unterscheiden $q$-Zahlen, auch nichttriviale Operatoren.

Dies wird von den Physikern, die verschiedene effektive quantenmechanische Modelle untersuchen, wie z. B. solche mit einer positionsabhängigen Masse, als ein tiefgreifendes Problem (vielleicht eine zu übertriebene Beschreibung) angesehen – wo wir es brauchen$p^2/2m(x)$in der kinetischen Energie und durch eine Expansion von$m(x)$um ein Minimum oder ein Maximum herum, können wir das bekommen$x^2p^2$oben vorgeschlagenes Problem.

Aber die Mehrdeutigkeit sollte nicht wirklich überraschen, denn es ist die Quantenmechanik und nicht die klassische Physik, die grundlegend ist. Der Quanten-Hamiltonoperator enthält alle Informationen, einschließlich des gesamten Verhaltens in der klassischen Grenze. Andererseits kann man die vollständige Quantenantwort nicht außerhalb ihrer klassischen Grenze „rekonstruieren“. Wenn Sie die Grenze kennen$\lim_{\hbar\to 0} g(\hbar)$einer Variablen$g(\hbar)$, bedeutet dies eindeutig nicht, dass Sie die gesamte Funktion kennen$g(\hbar)$für alle$\hbar$.

Viele Menschen verstehen diesen grundlegenden Punkt nicht, weil sie die klassische Physik als die grundlegende Theorie betrachten und die Quantenmechanik nur als eine verwirrende Kirsche auf einem Kuchen betrachten, die dennoch durch Quantisierung erhalten werden kann, ein Verfahren, das sie für kanonisch und einzigartig halten (nur eine Addition). . Es ist umgekehrt, die Quantenmechanik ist grundlegend, die klassische Physik ist nur eine ableitbare Annäherung, die in einem Grenzwert gültig ist, und der Prozess der Quantisierung liefert keine eindeutigen Ergebnisse für einen ausreichend allgemeinen klassischen Grenzwert.

Die Ordnungsmehrdeutigkeit tritt auch in der Feldtheorie auf. In diesem Fall sind alle mehrdeutigen Korrekturen aufgrund von Kurzstrecken-Singularitäten tatsächlich divergent, und die richtige Definition der Quantentheorie erfordert, dass man die Renormierung versteht. Was uns am Ende wirklich interessieren sollte, ist der Raum relevanter/konsistenter Quantentheorien, nicht "das richtige Quantengegenstück" einer klassischen Theorie (letztere ist nicht grundlegend, sollte also nicht am Anfang oder an der Basis stehen unserer Ableitungen).

Beim pfadintegralen Ansatz befasst man sich effektiv mit klassischen Feldern und ihren klassischen Funktionen, sodass die ordnenden Mehrdeutigkeiten zu fehlen scheinen; in Wirklichkeit treten alle Folgen dieser Mehrdeutigkeiten aufgrund der UV-Divergenzen, die reguliert und renormiert werden müssen, ohnehin wieder auf. Der Prozess der Regularisierung und Renormalisierung hängt von der Subtraktion verschiedener divergierender Gegenterme ab, um die endliche Antwort zu erhalten, die auch nicht ganz eindeutig ist (die endliche übrig gebliebene Kopplung kann alles sein).

Deshalb sind die Renormierungsmehrdeutigkeiten nur die Ordnungsmehrdeutigkeiten in einer anderen Sprache. Ob wir diese Dinge als Ordnungsmehrdeutigkeiten oder Renormierungsmehrdeutigkeiten untersuchen, die Lektion ist klar: Der Raum möglicher klassischer Theorien ist nicht dasselbe wie der Raum möglicher Quantentheorien, und wir sollten nicht über die klassischen Antworten nachdenken, wenn wir es tatsächlich wollen etwas anderes zu tun – die Probleme der Quantenmechanik zu lösen.