Ordnung der Mehrdeutigkeit im Quanten-Hamilton-Operator

Nun, die Metrik auf dem Zielraum ( nicht zu verwechseln mit der Raumzeit-Metrik )$g_{ij}$sieht aus wie

$$g_{ij}\sim \delta_{ij}+(C_{ijkl}X^{k}X^{l})+\mathcal{O}(X^{4}).$$ Wir können dies umkehren und erhalten ("for small $X$") $$g^{ij}\sim \delta^{ij}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}+\mathcal{O}(X^{4})$$ Wo ${D^{ij}}_{kl}$sind "einige Koeffizienten", die wir herausfinden könnten, wenn wir dazu gezwungen würden.

Wirklich, um die Mehrdeutigkeit der Operatorordnung im Hamiltonoperator zu beweisen, müssen Sie das nur zeigen

$$H\approx g^{ij}P_{i}P_{j} = \delta^{ij}P_{i}P_{j}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}P_{i}P_{k}+\mathcal{O}(X^{4}P^{2})$$ hat Mehrdeutigkeiten, wenn es quantisiert wird.

Wie? Betrachten wir den einfacheren Fall eines eindimensionalen Teilchens. Wir sehen, dass die Poisson-Klammern genügen

$$\tag{1}p^{2}x^{2}=(px)^{2}=\{x^{3},p^{3}\}-p^{2}x\{x^{2},p\}-\{x^{3},p\}p^{2}.$$ Woah, wie haben wir diese Gleichheit erreicht? Nun, wir nutzen das Grundstück $$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},\quad\mbox{and}\quad\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$ Dann überlegen wir $\{x^{3},p^{3}\}$und etwas Algebra machen. Aber wenn (1) quantisiert wird, versagen diese Gleichheiten stark. Es ist unklar (oder mehrdeutig ), was wichtig ist und wie es zu quantisieren ist.

Mit anderen Worten, wenn wir die Quantisierung als Karte haben

$$Q:\mathrm{classical}\to\mathrm{quantum}$$ befriedigend:

1. Quantisierung "bedeckt" Position und Impuls:$Q(x)=\widehat{x}$Und$Q(p)=\widehat{p}$, und werden "irreduzibel repräsentiert" (dies ist eine technische Bedingung, machen Sie sich darüber keine Sorgen!);
2. $Q$ist linear, also$Q(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}Q(f)+c_{2}Q(g)$Wo$f,g$sind Funktionen von Impuls und Ort;
3. Poisson-Klammern werden$\displaystyle Q(\{f,g\})=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[Q(f),Q(g)]$;
4. Die Zahl 1 wird auf den Identitätsoperator abgebildet$Q(1)=\mathrm{id}$.

Wir haben Probleme bei der Bewertung$Q(x^{2}p^{2})$. Haben wir

$$Q(x^{2}p^{2})\stackrel{??}{=}Q(x)^{2}Q(p)^{2}\stackrel{??}{=}Q(xp)^{2}?$$ Was passiert mit Gleichung (1)? Es ist mehrdeutig :(

Weitere Informationen zu Mehrdeutigkeiten bei der Reihenfolge der Operatoren finden Sie unter S. Twareque Ali, Miroslav Engliš „Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts“ arXiv:math-ph/0405065 .

Auch dieser Hamilton-Operator ist mit dem Laplace-Operator verwandt, was ich nicht verstehen kann, warum?

Wenn wir mit einem linearen Sigma-Modell arbeiten, haben wir$g_{ij}=\delta_{ij}$und wir erhalten den üblichen Hamilton-Operator als den Laplace-Operator (bis auf eine gewisse Konstante).

Dies ist aus der Formel ersichtlich und in diesem speziellen Fall zu beachten$g^{ij}=\delta^{ij}$so finden wir

$$H = \frac{1}{2}\delta^{ij}P_{i}P_{j} = \frac{1}{2}P^{i}P_{i}$$ Wieder bis zu einer gewissen Konstante. (Siehe Gleichung (10.70) des Buches, das Sie gerade lesen, und Sie finden $P_{i}=\mathrm{i}\partial/\partial X^{i}$)

Und wieder verwechseln Sie nicht die "Zielraummetrik"$g_{ij}$mit der "Raumzeit-Metrik", die Sie meiner Meinung nach bezeichnen$\eta_{ij}$(Später im Buch, denke ich, verwenden die Autoren$h_{ij}$für die "Raumzeit-Metrik").

Die Autoren sagen, dass in der Quantentheorie der obige Ausdruck mehrdeutig ist, weil X und P nicht pendeln. Daher gibt es viele nicht äquivalente Quantenauswahlen für H, die auf dasselbe klassische Objekt reduziert werden. Ich bin nicht in der Lage, dies herauszufinden.

Wenn Sie den Text überprüfen , werden Sie sehen, dass die Autoren die Kommutierungsbeziehung in Gleichung 10.70 wie folgt angegeben haben:

$$[X^i,P_j] = i\delta_j^i$$

was Ihnen sagt, dass X und P nicht kommutativ sind und die Kommutierungsoperation eine imaginäre Zahl erzeugt (und diese Gleichung könnte verstanden werden als$\dfrac{1}{X}P-P\dfrac{1}{X} = i$).

Die Gleichung, auf die Sie verweisen, wird tatsächlich wie folgt geschrieben:

$$H = \dfrac{1}{2}g^{ij}(X)P_iP_j$$

Die Positionsvariable X ist wichtig, da Impuls klassischerweise als verstanden wird$mass \times velocity$So$p^2 = m^2v^2$und kinetische Energie ist$\dfrac{1}{2}mv^2$. Also die$g^{ij}(X)$findet statt eines inversen Massenterms statt, um mit der klassisch definierten Energiegleichung konsistent zu bleiben.

Das Problem entsteht, wenn jemand versucht, die Gleichung nach einem unbekannten Wert zu lösen. Stellen Sie sich vor, Sie kennen H und X und möchten nach P auflösen, Sie erhalten möglicherweise eine Antwort für P und gehen davon aus, dass alles in Ordnung ist, wenn Sie jedoch aus irgendeinem Grund sowohl den gerade berechneten Wert von P als auch den Wert von H haben , und dann versuchen, nach X aufzulösen, stoßen Sie auf Probleme, da X und P nicht kommutativ sind, Sie nicht den gleichen Wert von X erhalten, mit dem Sie begonnen haben, und wie definiert, müssen Sie eine imaginäre Komponente einbeziehen.

Das ist mit Mehrdeutigkeit gemeint. Wenn Sie zwei Komponenten der Gleichung kennen, erhalten Sie keinen eindeutigen Wert für die dritte, sondern nur einen Bereich von Werten.

Was die Beziehung zum Laplace-Operator betrifft, so sieht man, wenn man sich die Schrödinger-Gleichung ansieht, dass der Term des kinetischen Energieoperators lautet:

$$-\dfrac{\hbar}{2m}\nabla^2$$

Wenn man dies also mit der Gleichung vergleicht, auf die Sie sich beziehen, sollte klar sein, dass die Impulssymbole (P) den Platz des Laplace-Operators einnehmen.